Sobre el género imaginario de grupos finitos

Resumen

El objetivo de esta Tesis doctoral es el estudio de distintas cuestiones sobre el género imaginario de los grupos finitos. Este parámetro viene definido en términos de superficies de Klein, no orientables, sin borde. Estas superficies quedan determinadas topológicamente por su género topológico, g. Si el género de una superficie es al menos 3, entonces su grupo de automorfismos es finito, y su orden es como máximo 84 veces su género menos 2. Recíprocamente, todo grupo finito G actúa como grupo de automorfismos de alguna superficie. Al menor de los géneros topológicos de las superficies sobre las que actúa el grupo G, se le denomina el género imaginario de G. Así, se conoce el género imaginario de distintas familias infinitas de grupos, el de todos los grupos de orden menor que 32, o el de todos los grupos que tengan género imaginario menor que 10. Todos estos resultados están descritos en términos de la estructura algebraica del grupo finito. Por otra parte, y mediante la utilización de las bibliotecas informatizadas de GAP y MAGMA, Marston Conder ha obtenido los géneros imaginarios de todos los grupos de orden menor que 128, así como los grupos con género imaginario hasta 65. Estos resultados están dados en términos de la denominación del grupo finito G en la biblioteca de GAP, y por lo tanto no permiten directamente conocer la estructura algebraica del grupo. Probablemente el problema más importante es averiguar qué números naturales son el género imaginario de algún grupo finito. Se sabe que 3 no es el género imaginario de ningún grupo, y que todos los números que no son de la forma 12k+3 pertenecen al espectro del género imaginario. Las superficies se uniformizan mediante grupos cristalográficos no euclídeos abreviadamente, grupos NEC. La superficie es el cociente del plano hiperbólico mediante un grupo NEC, H, de superficie, esto es, sin elementos de orden finito, y su grupo de automorfismos es entonces un cociente K sobre H, donde K es otro grupo NEC que contiene a H como subgrupo normal. Entonces el género imaginario de un grupo G se obtiene localizando el grupo NEC K, cuya región fundamental tenga área mínima, y tal que se pueda definir un epimorfismo de K sobre G con núcleo H, de modo que G se obtenga mediante imágenes de elementos de H que preserven la orientación. En las listas de M. Conder, dado un grupo finito descrito mediante su identificación en la biblioteca GAP, se indica su género imaginario, así como la signatura del grupo NEC K. En el abordaje de los problemas de la tesis se ha determinado en cada caso la estructura algebraica del grupo G, y para el respectivo grupo NEC K, se ha obtenido un epimorfismo de K sobre G con núcleo H. En algunos casos para un mismo grupo G existen varios grupos K, y entonces se han obtenido los epimorfismos correspondientes a cada uno de ellos. En esta Tesis se obtienen sucesivamente los siguientes resultados. En primer lugar, todos los grupos que tienen género imaginario entre 10 y 17; y el género imaginario de los grupos de orden 32 a 63. En ambos casos, dando la estructura algebraica de los respectivos grupos finitos, así como una presentación mediante generadores y relaciones, y el correspondiente epimorfismo. Finalmente, se avanza en el estudio del espectro estudiando los grupos de género imaginario 27, 39, 51 y 63; que dan información para obtener cinco familias infinitas de grupos cuyos géneros imaginarios son de la forma 12k+3. Además se obtiene una nueva familia de grupos que es candidata natural a que sus géneros imaginarios sean todos los números de la forma 60k+27. Estos son los más abundantes entre aquellos de los que aún se desconoce si están en el espectro. Pues bien, se prueba que los primeros grupos de la familia tienen género imaginario 207 y 267, que eran hasta ahora los dos primeros números de los que se ignoraba si pertenecían al espectro del género imaginario. Si conseguimos generalizar este resultado, el primer hueco que tendríamos sería el 495.