Métodos numéricos para el análisis de la propagación, observación y control de ondas

Resumen

Este trabajo está dedicado al estudio de Problemas de Control para versiones discretas y semi-discretas de la ecuación de ondas unidimensional. Se realiza un estudio pormenorizado de los métodos de aproximación numérica en el control de ondas. Se abordan dos problemas íntimamente relacionados: la controlabilidad y la observabilidad de las soluciones de los esquemas numéricos. Estos problemas son relevantes en el contexto de la resolución numérica de problemas en Teoría del Control. Ambos problemas han sido ampliamente estudiados en el contexto continuo: se recuerdan brevemente algunos aspectos de esta teoría que permitirá, por una parte, aclarar las motivaciones de empreder el estudio de su variante discreta y/o numérica, y, por otra, observar las profundas diferencias existentes entre ambas. Los resutlados principales versan sobre: A,- La convergencia de un método bi-malla propuesto por R.Glowinski. B,- La contalabilidad exacta del sistema completamente discreto correspondiente a la discretización con diferencias finitas de la ecuación de onda. C,- Una versión discreta de la desigualdad de Ingham para familias de exponenciales complejas. D,- La implementación numérica de un método de wavelets. Utilizando técnicas de Análisis de Fourier no armónico, el método HUM y métodos de multiplicadores discretos se obtienen condiciones que garantizan la controlabilidad/observabilidad de las soluciones de los esquemas numéricos en un tiempo similar al de caso continuo, un tiempo mayor que el doble de la longuitud. Las técnicas desarrolladas para tratar el problema mencionado y los resultados obtenidos, permiten a su vez resolver problemas similares: el caso multi-dimensional, la ecuación de ondas con coeficientes variables. Las similitudes numéricas ilustran la validez de los resultados teóricos obtenidos.