Inference on linear processes in Hilbert and Banach spaces. Statistical analysis of high-dimensional data

Resumen

Esta tesis proporciona nuevos resultados en el contexto de la estimación y predicción funcional, a partir de modelos autorregresivos Hilbertianos, o bien, con valores en espacios de Banach separables. El objetivo fundamental es proporcionar herramientas adecuadas para modelizar relaciones lineales entre variables aleatorias funcionales, que dependen de un índice temporal. Se ha adoptado un enfoque paramétrico, en la estimación funcional, basado en proyectar sobre bases ortonormales adecuadas. Los resultados derivados, sobre propiedades asintóticas de los estimadores considerados, se aplican al contexto de la regresión lineal funcional, con errores correlados en el tiempo, y con valores funcionales en espacios de Hilbert separables. En particular, se considera un análisis funcional de la varianza, para dichos modelos. Se introduce asimismo un enfoque Bayesiano en la derivación de la aproximación considerada, componente a componente, para el operador de autocorrelación, bajo condiciones menos restrictivas. Adicionalmente, se contempla un enfoque no paramétrico en la clasificación de datos funcionales con soporte espacial. Las contribuciones de esta tesis se pueden resumir, fundamentalmente, en los siguientes puntos: • La derivación de nuevos resultados sobre consistencia débil y fuerte de estimadores de proyección del operador de autocorrelación, en modelos autorregresivos Hilbertianos de orden 1 (modelos ARH(1)), respecto a diferentes normas, tales como la norma definida sobre el espacio de operadores lineales y acotados, la norma en el espacio de operadores de Hilbert-Schmidt y la norma para operadores traza. Bajo el mismo escenario, se obtiene la consistencia del correspondiente predictor funcional plug-in. Se considera, en esta derivación, el caso de autovectores conocidos y desconocidos. Como caso especial, se aborda el problema de predicción funcional del proceso conocido como Ornstein-Uhlenbeck, con valores en espacios de Hilbert y Banach separables. Este aspecto motiva el siguiente bloque de contribuciones. • La extensión de los resultados derivados previamente en el contexto ARH(1) al contexto ARB(1), siendo B un espacio de Banach abstracto y separable. Esta extensión también proporciona una metodología más flexible en el contexto de los procesos autorregresivos funcionales, dado que, hasta el momento, los espacios considerados por excelencia, en este ámbito, han sido los espacios de funciones continuas sobre un intervalo acotado, dotados con la norma del supremo, y el espacio de funciones continuas a la derecha, con límite por la izquierda, dotado con la geometría de Skorokhod. La metodología desarrollada se basa en la construcción del Lema 2.1 en Kuelbs (1970), donde se establece que, para cualquier espacio de Banach separable, se puede definir un espacio de Hilbert con topología más débil, bajo condiciones apropiadas. En este contexto, se genera una nueva sucesión de espacios de Hilbert y Banach encajados de forma continua, que permite extender los resultados existentes, sobre consistencia, a un contexto más general. • La introducción de un enfoque Bayesiano en la estimación componente a componente de los autovalores del operador de autocorrelación, estableciendo la eficiencia asintótica y la equivalencia entre el estimador clásico y Bayesiano. Asimismo, se establece la equivalencia asintótica de los predictores asociados. • La aplicación de los resultados derivados al contexto de modelos FANOVA, con término de error ARH(1), es también considerada. En particular, se introducen nuevos modelos de operadores de covarianza matricial, cuyas entradas funcionales, fuera de la diagonal, poseen un espectro puntual no separable. • Se consideran, en todos los casos, amplios estudios de simulación, con el objeto de comparar con otros enfoques las propiedades asintóticas de los estimadores analizados, así como derivar numéricamente nuevas razones de convergencia en relación con la eficiencia asintótica y la consistencia. • Se ilustra, en particular, la implementación práctica para el análisis de datos de elevada dimensión, de las metodologías de estimación y predicción funcional adoptadas, en todos los ámbitos estudiados, mediante aplicaciones en términos de datos reales.