Ciclicidad de operadoresteoría espectral

Resumen

Un operador lineal y continuo T actuando sobre un espacio de Hilbert H se dice cíclico si existe un vector x tal que la variedad lineal engendrada por la órbita{Tn x:n>- 0} es densa en H, Si la órbita misma es densa, entonces T se dice hipercíclico. En esta memoria se caracteriza completamente el comportamiento cíclico e hipercíclico de los múltiplos escalares de los operadores de composición cuyos símbolos son transformaciones de Möebius en los espacios de Dirichlet con pesos. Como ejemplos particulares de estos espacios tenemos los espacios clásicos de Bergman, Hardy y Dirichlet. Como consecuencia, se completan algunos trabajos recientes en dichos espacios. En particular, se determina exactamente cuando los operadores de composición dejan de ser cíclicos o hipercíclicos. En casi todos los casos el corte de la ciclicidad e hiperciclicidad de los multiplos escalares está determinado por el espectro del operador. En particular, el espacio de Dirichlet juega un papel fundamental en el corte de las diferentes propiedades cíclicas. La mayoría de los casos involucran técnicas innovadoras en el contexto de los operadores de composición. Las ideas utilizadas para resolver estos problemas van desde la medida de Haar de grupos multiplicativos localmente compactos hasta los polinomios de Laguerre, pasando por técnicas del análisis armónico, teoría de Beurling y espacios de Hilbert funcionales y, en general, del Análisis Funcional y la Variable Compleja. También se introducen algunas ideas nuevas en el contexto de operadores cíclicos en general. Por otra parte, un operador lineal y continuo T actuando sobre un espacio de Hilbert H se dice supercíclico si existe un vector x E H tal que la órbita proyectiva { Tn f:n>- 0 y E C} es densa en H. Se presenta un método basado en una idea geométrica muy simple que permite decidir cuando un operador no es supercíclico. Usando técnicas que involucran propiedades de ort