Algebra, geometry and topology of the riordan group

  1. Prieto Martínez, Luis Felipe
Dirigida por:
  1. Ana Luzón Director/a
  2. Manuel Alonso Morón Director

Universidad de defensa: Universidad Autónoma de Madrid

Fecha de defensa: 15 de septiembre de 2017

Tribunal:
  1. Jesús Angel Jaramillo Aguado Presidente
  2. Adolfo Quirós Gracián Secretario/a
  3. Juan José Moralez Ruiz Vocal

Tipo: Tesis

Resumen

En esta tesis doctoral se aborda un estudio del Grupo de Riordan, un grupo de matrices infinitas llamadas matrices de Riordan. Tanto el producto como la inversa de las matrices de Riordan puede interpretarse en términos de ciertas series formales de potencias asociadas a las sucesiones que aparecen en las columnas de las mismas. Por lo tanto este grupo está relacionado con los grupos multiplicativo y composicional dentro del conjunto de series de potencias (substitution group of formal power series, Nottingham group, etc.), es de gran interés en combinatoria y aparece en muchas otras ramas de las Matemáticas. En primer lugar se estudia la estructura natural que tiene el grupo de Riordan como límite inverso, tanto en la representación en términos de matrices finitas antes descrita como en la de matrices bi-infinitas. Esta herramienta, es fundamental en el resto del trabajo, y permite, entre otras cosas, decidir la existencia y unicidad de soluciones para algunas ecuaciones funcionales en series de potencias (ecuación de Schröder y de Schröder con pesos, por ejemplo). Segundo, se hace un estudio sobre algunas propiedades algebraicas del grupo de Riordan (caracterización de la serie derivada, caracterización de los elementos de orden finito, caracterización del grupo generado por las involuciones, etc.). Tercero, se fija el marco teórico para futuros trabajos sobre la estructura geométrica que el grupo de Riordan tiene como grupo de Lie infinito-dimensional modelado sobre un espacio de Frechet. Se observa que, al igual que las matrices de Riordan, también la multiplicación de las matrices en el Álgebra de Lie del grupo de Riordan por un vector columna infinito tienen una interpretación en términos de series de potencias. Por último, se muestra cómo las matrices de Riordan aparecen de forma natural en el estudio de un problema de Topología Combinatoria conocido como el problema del f-vector.