Métodos de dualidad para adaptación espacio-temporal en la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales

Resumen

En esta tesis presentamos un método adaptativo espacio-temporal para calcular de forma eficiente la solución numérica de EDP¿s, especialmente en problemas dependientes del tiempo. Formularemos el método en primer lugar para ecuaciones de reacción-difusión y después generalizaremos para todo tipo de ecuaciones de convección-reacción-difusión (o sistema de ellas), tratando los términos convectivos mediante un esquema semi-lagrangiano. Nuestro algoritmo adaptativo, formulado bajo la teoría de elementos finitos, está basado en el método "Dual Weighted Residual (DWR)", que es presentado en [11] como una técnica para el cálculo del error a posteriori en cantidades de interés físico J(u) de la solución. Esta técnica conduce a algoritmos eficientes de elementos finitos adaptativos en el caso estacionario, pero es todavía un problema abierto el conseguir algoritmos adaptativos eficientes con esta misma metodología en problemas dependientes del tiempo. El término eficiente lo empleamos aquí para designar a un algoritmo numérico que proporciona una buena estimación espacial y temporal del error a posteriori cometido, con el fin de generar particiones en espacio y tiempo que conduzcan a una equidistribución del error con un coste computacional óptimo en almacenamiento y tiempo de CPU. Hasta ahora, la aplicación de las técnicas DWR en ecuaciones dependientes del tiempo llevaba asociado el problema de almacenar necesariamente tanto la topología como la solución de los cálculos numéricos realizados en todos los subintervalos de tiempo In := (tn¡1; tn] que forman el intervalo de integración temporal [0; T], lo que requeriría enormes recursos computacionales. Para solventar este problema, proponemos en esta tesis un algoritmo adaptativo (en espacio y tiempo) que, basado en las ideas del método DWR, requiere solamente almacenar una malla espacial que es adaptada de forma adecuada a medida que el tiempo progresa. Nuestro algoritmo consiste en aplicar la técnica DWR localmente en cada subintervalo de tiempo In := (tn¡1; tn] al problema original, que ha sido perturbado con una condición inicial dada por la solución numérica en el instante tn¡1. Así, más que controlar el error en todo el intervalo temporal [0; T], lo que hacemos ahora es controlar el error local en cada subintervalo In. Sin embargo, un punto débil de esta aproximación es que un buen control del error local no garantiza que el error global esté acotado jJ(u) ¡ J(uh¢t)j < GTOL, siendo GTOL una tolerancia global impuesta. Es bien conocido el hecho de que la magnitud del error global depende de la rigidez del problema; si la rigidez es baja o moderada, acabaremos teniendo un error global pequeño si se controla bien el error local, pero si la rigidez es alta el error global puede ser grande incluso si se controlase el error local con una tolerancia razonable. Dicho esto, debemos mencionar algunas buenas propiedades del algoritmo presentado en esta tesis, las cuales permiten realizar una eficiente adaptación espacial y temporal. La primera es que es auto suficiente en proporcionar un criterio preciso para la adaptación del paso temporal ¢t y del tamaño de malla h; tal que en cada subintervalo de tiempo In impondremos las tolerancias Tols y Tolt (TOL = Tols + Tolt) al error espacial y temporal estimado respectivamente. La segunda propiedad es que el algoritmo extiende la idea del post-proceso espacial del tradicional método DWR a mallas no estructuradas. Para dotar a la tesis de un contenido práctico en el marco de la ingeniería, al final de la misma, se resolverá un interesante problema dentro del marco de la combustión, denominado "Problema de las llamas levitadas". El cálculo de la solución numérica a este problema es desafiante para los métodos numericos convencionales porque adicionalmente a las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles tenemos fuertes no linealidades en las ecuaciones de convecciónreacción- diffusion para las especies químicas y la temperatura. Esto conduce a fenomenos físicos que exhiben gran disparidad entre las escalas temporales y espaciales, y una superficie libre móvil representada por el frente de llama. Por consiguiente, una técnica numérica eficiente para resolver el problema debería hacer uso de métodos adaptativos tanto en tiempo como en espacio para resolver apropiadamente las escalas y la evolución de los frentes de llama.