Topologies on groups related to the theory of shape and generalized coverings

Resumen

La tesis doctoral titulada Topologías en grupos relacionados con la teoría de la forma y recubridores generalizados se dedica, primeramente, a introducir estructura adicional en los grupos fundamental y de homología de Cech de un espacio compacto métrico. Posteriormente se tratan cuestiones relacionadas con la generalización de la teoría de espacios recubridores y el espacio universal de caminos. Motivado por la introducción de una ultramétrica completa en los grupos shape de un compacto métrico, se construye una pseudoultramétrica en el grupo fundamental que resulta ser un invariante del tipo de homotopía del espacio. La topología generada por esta pseudoultramétrica responde afirmativamente a la cuestión de existencia de una topología sobre el grupo fundamental que hace que éste sea grupo topológico y tal que la proyección desde el espacio de lazos sea continua. Esta topología se expresa en términos de una topología inicial asociada al cociente del grupo fundamental por el núcleo del homomorfismo canónico que relaciona la homotopía y la forma y se compara con otras topologías asociadas también a relaciones de equivalencia obteniéndose, en el caso localmente conexo por caminos, la coincidencia entre conceptos clásicos de Spanier, Hurewicz y Dugundji y nociones de teoría de la forma. Mediante una adecuada reinterpretación de los grupos de homología de Cech en términos aproximativos análogos a los utilizados por K. Borsuk para los grupos shape, se introduce una ultramétrica completa en los grupos de homología de Cech que resulta ser un invariante del tipo de homotopía y de forma del espacio. Esta construcción permite aplicar la teoría de dualidad de Pontryagin a los grupos de cohomología de un compacto métrico, obteniéndose que los grupos de cohomología con coeficientes en la circunferencia unidad son el dual de Pontryagin de la homología. Se aborda, por último, la cuestión de cómo generalizar el concepto de espacio recubridor. Tomando la definición de recubridor universal generalizado propuesta por H. Fischer y A. Zastrow, se propone el conjunto de las clases shape de caminos que emanan de un punto base prefijado, y una modificación de la topología whisker, como candidato a recubridor en sentido generalizado. El grupo fundamental de este candidato coincide con el núcleo del homomorfismo que relaciona homotopía y forma, así que en el caso de espacios shape inyectivos se recupera la teoría de Fischer y Zastrow. Se describe una topología para el espacio universal de caminos, obtenida a través del límite inverso de recubridores, y se compara con las topologías whisker, lasso y cociente, anteriormente definidas en el marco de las teorías de recubridores generalizados. De nuevo, la conexión local por caminos aparece como hipótesis para la coincidencia de las topologías lasso y límite inverso.