Productos estrella y ecuación cuántica triangular de Yang-Baxter

Resumen

Se demuestran teoremas enunciados por v.g. Drinfeld sobre la relacion entre la ecuación cuántica triangular de yang-baxter (ectyb) y los productos estrella invariantes sobre un grupo de lie g con estructura de poisson invariante. Se enuncia y prueba un teorema básico que pone de manifiesto el contenido cohomologico de la ectyb. La obstrucción a la prolongación al orden k+1 de un producto estrella invariante f(x;y) al orden k, es la clase de cohomologia (invariante de hochschild) correspondiente al termino de orden k+1 de la ectyb construida a partir de s(x;y)=f-1(y;x)f(x;y). Se hace explícita la construcción de v.g. Drinfeld de un producto estrella invariante sobre un grupo de lie g con estructura simpléctica invariante beta1, a partir de un 2-cociclo beta h= beta 1+beta 2 h+beta 3 h2 + ... Del álgebra de lie de g. Se muestra que corresponde a una generalización del procedimiento para obtener un producto de moyal sobre (r2(; beta1) a partir de la ley de grupo formal del campbell-hausdorff del álgebra de lie de g. Haciendo uso del teorema sobre el contenido cohomologico de la ectyb, se demuestra que todo producto estrella invariante sobre (g; beta 1) es equivalente a uno obtenido por el procedimiento anterior a partir de un 2-cociclo beta h. Se estudia la equivalencia entre productos estrella definidos por cociclos en la misma clase de cohomologia de hochschild. También se estudian las nociones de grupo de lie-poisson, bialgebra de lie y matriz-r clásica, poniéndose de manifiesto la relacion entre estas ultimas y las bialgebras de lie exactas. En particular se demuestran los resultados enunciados por semenov-tian-shansky que se refieren a la existencia de soluciones, por el método de factorizacion, de las ecuaciones del movimiento, en el caso de hamiltonianos de casimir con respecto a la estructura de poisson que sobre el dual g* define una solución de la ecuación modificada de yang-baxter y en el caso de hamiltonianos centrales con respecto a la estructura de poisson que sobre el grupo g define una solución de la ecuación modificada de yang-baxter.