El problema variacional definido por el cuadrado de la curvatura en variedades riemannianasSoluciones exactas y aproximadas. Aplicación a la teoría de curvas splines

Abstract

El objeto de la memoria que se presenta es el estudio del problema variacional definido por el cuadrado de la curvatura sobre una variedad riemanniana, Se adopta para ello el punto de vista del cálculo de variaciones de orden superior en Mecánica Analítica, siguiendo el formalismo de Hamilton-Cartan. Para ello, después de introducir la teoría necesaria, se estudian los problemas variacionales invariantes frente a cambios de parametrización, de los cuales nuestro problema es un ejemplo. Se desarrolla para ellos un proceso que permite introducir el formalismo hamiltoniano, a pesar de ser problemas singulares. Utilizando este proceso, se escribe y se reduce el orden de las ecuaciones diferenciales que han de satisfacer las extremales del problema en superficies de curvatura constante y en el espacio euclídeo. Por último, se generaliza el proceso de un rolling definido por Jupp y Kent y se estudia su aplicación para la aproximación de soluciones del problema.