Números de Pitágoras de curvas algebroides irreducibles reales

Abstract

DADO UN ANILLO A, SE LLAMA NUMERO DE PITAGORAS DE A AL MINIMO ENTERO P(A) TAL QUE TODA SUMA DE CUADROS DE A PUEDE ESCRIBIRSE CON NO MAS DE P(A) SUMANDOS, EL OBJETO DE ESTE TRABAJO HA SIDO LA ESTIMACION DE DICHO NUMERO EN EL CASO QUE EL ANILLO A ES UNA CURVA ALGEBROIDE IRREDUCIBLE REAL. PARA ELLO, SE HA FIJADO UN SEMIGRUPO NUMERICO Y SE HA CONSIDERADO EL CONJUNTO DE TODAS LAS CURVAS CUYO SEMIGRUPO DE VALORES ES PRECISAMENTE . SE HA COMPROBADO QUE ESTE CONJUNTO ES SEMIALGEBRAICO Y CALCULADO SUS ECUACIONES. TAMBIEN SE HA OBTENIDO UNA SERIE DE PROPIEDADES DE ESTE CONJUNTO, ENTRE LAS QUE RESALTAMOS LA CONEXION SEMIALGEBRAICA Y LA HOMOGENEIDAD. ESTE PLANTEAMIENTO HA PERMITIDO OBTENER COTAS SUPERIORES E INFERIORES DEL NUMERO DE PITAGORAS DE ESTOS ANILLOS. ESTO SE HA LOGRADO PARAMETRIZANDO LAS SUMAS DE CUADRADOS DE UN ORDEN FIJO MEDIANTE CIERTOS CONJUNTOS SEMIALGEBRAICOS Y USANDO AQUI TECNICAS PROPIAS DE LA TOPOLOGIA SEMIALGEBRAICA SOBRE CUERPOS REAL-CERRADOS. A PARTIR DE ESTA IDEA SE HA LOGRADO OBTENER UNA SERIE DE RESULTADOS Y TECNICAS QUE PERMITEN CALCULAR LOS NUMEROS DE PITAGORAS DE ALGUNAS CURVAS COMO, POR EJEMPLO, LAS DE MULTIPLICIDAD 3 Y AQUELLAS CUYO SEMIGRUPO DE VALORES NO TIENE RELACIONES. TAMBIEN SE HA OBTENIDO UN ALGORITMO PARA DECIDIR SI UNA CURVA ES DE ARF Y, POR ULTIMO, SE HA ANALIZADO EL PROBLEMA 17 DE HILBERT PARA UNA CURVA ALGEBROIDE IRREDUCIBLE REAL OBTENIENDO UN RESULTADO PRACTICO QUE, EN ALGUNAS OCASIONES, PERMITE AVERIGUAR SI TODA SERIE ABSOLUTAMENTE POSITIVA DE ORDEN FIJO ES SUMA DE CUADRADOS EN LA CURVA A.