Desingularización y contacto maximal en hipersuperficies algebroides sobre cuerpos de cualquier característica

Resumen

TRAS UN PRIMER CAPITULO EN EL QUE SE PRESENTAN BREVEMENTE LOS CONCEPTOS Y NOTACIONES QUE CONSTITUYEN EL PUNTO DE PARTIDA DEL TRABAJO REALIZADO EN ESTA TESIS DOCTORAL, EN SU SEGUNDO CAPITULO SE ESTUDIA Y RESUELVE POR COMPLETO EL PROBLEMA DE LA DESINGULARIZACION DE HIPERSUPERFICIES ALGEBROIDES DEFINIDAS SOBRE UN CUERPO ALGEBRAICAMENTE CERRADO DE CARACTERISTICA ARBITRARIA, SE DEMUESTRA QUE LA MULTIPLICIDAD DE CUALQUIER HIPERSUPERFICIE ALGEBROIDE DISMINUYE AL EFECTUAR DE MODO SUCESIVO UN CIERTO NUMERO DE TRANSFORMACIONES CUADRATICAS FORMALES, Y SE OBTIENE DICHO NUMERO. CONSECUENCIA INMEDIATA DEL ANTERIOR RESULTADO ES QUE, MEDIANTE LA APLICACION SUCESIVA DE UN NUMERO FINITO DE TRANSFORMACIONES CUADRATICAS FORMALES, SE CONSIGUE TRANSFORMAR CUALQUIER HIPERSUPERFICIE ALGEBROIDE SINGULAR (ES DECIR, DE MULTIPLICIDAD MAYOR QUE 1) EN UNA HIPERSUPERFICIE REGULAR (ES DECIR, DE MULTIPLICIDAD IGUAL A 1). EL CAPITULO TERCERO SE DEDICA A DEFINIR EL CONCEPTO DE CONTACTO MAXIMAL ENTRE UNA VARIEDAD ALGEBROIDE GENERICA Y OTRA REGULAR, Y A CARACTERIZARLO PARA EL CASO PARTICULAR DE QUE AMBAS VARIEDADES SEAN HIPERSUPERFICIES. EN EL CUARTO Y ULTIMO CAPITULO SE DEMUESTRA LA EXISTENCIA DE CONTACTO MAXIMAL PARA TODA HIPERSUPERFICIE ALGEBROIDE CUYA MULTIPLICIDAD NO SEA MULTIPLO DE LA CARACTERISTICA P DEL CUERPO BASE. SE OBTIENE QUE PARA EL CASO CONTRARIO NO EXISTE EN GENERAL EL CONTACTO MAXIMAL, APORTANDO EJEMPLOS CONCRETOS DE HIPERSUPERFICIES DE MULTIPLICIDAD POTENCIA DE P, Y DE MULTIPLICIDAD UN MULTIPLO, PERO NO POTENCIA, DE P, QUE CARECEN DE DICHO CONTACTO MAXIMAL. LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN NUESTRO ESTUDIO SOBRE LAS HIPERSUPERFICIES NOS PERMITEN, FINALMENTE, AVANZAR EN LA DESINGULARIZACION DE LAS VARIEDADES ALGEBROIDES EN GENERAL, AL CONSEGUIR CON ELLOS QUE DISMINUYA LA FUNCION DE HILBERT-SAMUEL DE UNA VARIEDAD ALGEBROIDE DADA. CARACTERIZAR DESDE LA PERSPECTIVA DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS