Multiplicidad óptima y sistematización de la teoría de bifurcación uniparamétrica

Resumen

DESDE LOS YA CLASICOS TEOREMAS DE CRANDALL-RASINOWITZ Y KRASNOSELSKII ACERCA DE LA EXISTENCIA LOCAL DE SOLUCIONES BIFURCADAS MUCHOS HAN SIDO LOS INTENTOS DE GENERALIZACION DE LOS MISMOS, EN LA ACTUALIDAD EXISTE UNA ABUNDANTE LITERATURA EN LA QUE SE PUEDEN ENCONTRAR DISTINTOS CONCEPTOS DE MULTIPLICIDAD DEAUTOVALORES AISLADOS DE OPERADORES DE FREDHOLM NO SIENDO CLARA LA RELACION ENTRE ELLOS: SOLO SE SABE QUE COINCIDEN EN EL CASO DE ESPACIOS FINITODIMENSIONALES. POR OTRA PARTE TALES CONCEPTOS NADA DICEN SOBRE QUE PROPIEDADES EXPLICITAS DE LA FAMILIA UNIPARAMETRICA EN CUESTION GARANTIZAN O NO LA EXISTENCIA DE BIFURCACION NI HASTA QUE PUNTO LAS CONDICIONES SUFICIENTES QUE ESTABLECEN SON TAMBIEN NECESARIAS. LO QUE HACEMOS EN ESTA TESIS DOCTORAL ES DEFINIR UN CONCEPTO DE MULTIPLICIDAD QUE GENERALIZA A TODOS LOS ANTERIORES Y ADEMAS RESULTA SER OPTIMA. EN EL CAPITULO I SE INCLUYEN LOS RESULTADOS EXISTENTES ANTERIORMENTE EN LA LITERATURA. LOS CAPITULOS II Y III SON COMPLETAMENTE ORIGINALES Y ESTAN ESTRUCTURADOS DEL SIGUIENTE MODO: EN EL CAPITULO II SE DEFINE EL CONCEPTO DE MULTIPLICIDAD PARA AUTOVALORES AISLADOS DE OPERADORES DE FREDHOLM Y SE DEMUESTRAN LOS RESULTADOS OPTIMALES DE BIFURCACION. ADEMAS DICHA MULTIPLICIDAD ESTA DEFINIDA A PARTIR DE CONDICIONES EXPLICITAS SOBRE LA PARTE LINEAL DE LA ECUACION QUE SE CONSIDERE. EN EL CAPITULO III SE VE LA RELACION DE DICHO CONCEPTO CON LOS DEFINIDOS ANTERIORMENTE POR OTROS AUTORES DEMOSTRANDOSE QUE O BIEN GENERALIZA O BIEN COINCIDE CON ELLOS. EN PARTICULAR SE DEDUCE QUE TODOS ELLOS COINCIDEN TANTO EN EL CASO FINITO COMO INFINITODIMENSIONAL. ADEMAS SE DA UN SENCILLO METODO ALGEBRAICO PARA CALCULAR TAL MULTIPLICIDAD Y QUE RESULTA SUMAMENTE UTIL CUANDO SE TRABAJA CON OPERADORES DIFERENCIALES.