Aplicaciones de la teoría de medida lineal

Resumen

El objetivo del trabajo es dar una introducción de lo más sencilla posible al estudio de las propiedades fundamentales de la medida lineal de Besicovitch y establecer algunas aplicaciones de esta teoría al estudio de problemas relacionados con los conjuntos de Nikodym que aparecen en diferenciación de integrales. La exposición se distribuye en capítulos: I. TEOREMAS FUNDAMENTALES. II. APLICACIONES. Complementados con una introducción en la cual se dan los aspectos generales de la teoría y el encuadre del problema. En el capítulo primero se dan la mayor parte de las notaciones y definiciones y se obtienen los dos teoremas fundamentales de estructura a saber: «Todo conjunto regular está casi contenido en una unión numerable de curvas rectificables. Todo conjunto regular admite tangente en casi todos sus puntos». «Casi todo punto de un conjunto irregular es de radiación. La proyección de un conjunto irregular desde casi todo punto de cualquier recta del plano, tiene medida cero». El resto de los teoremas de este capitulo van encaminados a conseguir la demostración de los citados o en algunos casos, a obtener una exposición coherente que haga del capítulo una unidad temática. En el capítulo segundo se estudian las propiedades que tiene el conjunto de las rectas polares de un conjunto linealmente medible, en espacial el área barrida por las polares de conjuntos regulares e irregulares. Se obtiene también una caracterización de los conjuntos regulares e irregulares de rectas lo que permite abordar de manera general la construcción de conjuntos del tipo del de Kahane. Por último se da una respuesta al problema de existencia de conjuntos de Nikodym asociados a campos Lipschitzianos de direcciones.