Estudio matemático y numérico de ciertos problemas de segmentación de imágenes y de cavitación en lubricación

Résumé

La memoria consta de dos partes en las que se tratan problemas con ecuaciones en derivadas parciales, En ambas partes se llevan acabo estudios analíticos de los problemas considerados seguidos de un tratamiento numérico mediante el método de elementos finitos adaptativos. En la primera parte se considera un problema lineal relacionado con un problema de discontinuidades en el modelo variacional de Munford y Shah de segmentación de imagenes. Se dan estimaciones de la variación del funcional de Mumford-Shah que se comprueban numéricamente aplicando el método de elementos finitos adaptativos. En la segunda parte se trata un problema no lineal con frontera libre relacionado con el fenómeno de cavitación en lubricación. El dispositivo experimental considerado consiste en un cojinete formado por dos cilíndros con ejes paralelos. Se considera primero el caso particular en el que la longitud del cojinete es considerada infinita, lo que da lugar a una formulación unidimensional del problema cuya solución se aproxima mediante un algoritmo iterativo. Para la resolución del problema bidimensional, se introduce un problema de evolución que se discretiza en el tiempo mediante un esquema implícito; se establecen resultados de monotonía de las soluciones de los problemas elípticos resultantes; lo da la convergencia de estas a la solución del problema estacionario. Finalmente, se considera el caso elástico en el que se considera la posible deformación del cojinete bajo presiones muy altas. En este caso, el problema no lineal de frontera libre se acopla con un problema de elasticidad; se desacoplan las dos partes del problema y se considera el problema hidrodinámico desacoplado al que se le vuelve a aplicar el análisis desarrollado en el caso anterior.