Campos vectoriales holomorfos completos y condición jacobiana

Resumen

En esta memoria estudiamos las soluciones enteras de un campo vectorial polinómico (es decir, soluciones del campo dadas para todo valor del tiempo complejo) definido en un espacio afín complejo de dimensión dos, C2. Estas soluciones dan lugar a trayectorias sobre las que el campo es completo. La principal contribución de esta tesis esla clasificación de todos los campos polinómicos en C2 que son completos sobre una trayectoria transcendente (es decir, propia y no algebraica), salvo automorfismo polinómico. La demostración de este resultado se basa en una combinación del estudio de las propiedades globales de la foliación definida por el campo (existencia de un polinomio complejo con respecto al cual la foliación tiene una geometría sencilla), con algunos métodos transcendentes sobre la distribución de los valores de una función entera (Teoremas de tipo Borel). Como aplicación demostramos que todo campo vectorial polinómico en C2 completo sobre una trayectoria transcendente y singular (es decir, tal que su clausura contiene ceros del campo) tiene todas sus soluciones enteras, y por tanto, es completo en C2. Estudiamos también propiedades no genéricas para un campo relacionadas con la completitud. Demostramos que la propiedad de ser completo es no genérica en el conjunto de campos polinómicos de grado > 2. Probamos, además, que todo campo vectorial polinómico completo en C2 tiene como máximo un cero aislado, y clasificamos todos aquellos con un cero que no es tipo Poincaré-Dulac. Por último estudiamos aplicaciones polinómicas en Cn con determinante de su jacobino constante. Asociamos a una tal aplicación n campos vetoriales polinómicos (las columnas de la inversa de la matriz jacobiana de la aplicación), que nos permiten dar condiciones necesariasy suficientes para que dicha aplicación sea invertible. De esta manera, reformulamos la Conjetura Jacobiana en términos de campos completos.