Multiplicidades algebraicas y teoría de bifurcación

Résumé

Se profundiza en el concepto de multiplicidad algebraica de una familia uniparamétrica de operadores de Fredholm de índice cero en un punto del parámetro donde la familia deja de ser invertible. Probamos un resultado de unicidad de la multiplicidad. Generalizamos al caso real propiedades conocidas en el caso complejo; en particular, la existencia de forma local de Smith y la posibilidad de calcular la multiplicidad mediante un residuo logarítmico. En lo que concierne a teoría local de bifurcación, la forma local de Smith se usa para caracterizar los autovalores no lineales en un problema de bifurcación, es decir, para caracterizar aquellos autovalores de la linealización para los cuales siempre existe bifurcación independientemente de la parte no lineal (términos de orden superior). En teoría global de bifurcación generalizamos resultados clásicos de Rabinowitz, Ize, Dancer y Magnus relativos a las componentes acotadas de soluciones no triviales. No suponemos que el conjunto de autovalores de la familia linealizada sea discreto, trabajamos con componentes semiacotadas (es decir, acotadas en una dirección del parámetro), pero que pudieran no ser acotadas en todo el espacio. Damos estimaciones inferiores del número de soluciones de las secciones (obtenidas fijando un valor del parámetro) de las componentes semiacotadas de soluciones no triviales; esto se hace calculando el grado topológico de la función que define nuestra ecuación en dichas secciones a través únicamente de los puntos de bifurcación de dicha componente.