Sobre el probrema de Nash para las singularidades de superficie cociente

Resumen

En esta tesis se demuestra la biyectividad de la aplicación de Nash para singularidades de superficies cocientes. En [Nash], J. Nash inició el estudio de espacios de arcos de una variedad algebraica o analítica en relación con su resolución de singularidades. En particular se centró en el espacio de los arcos que pasan por el origen de una singularidad aislada (X,O). Los espacios de arcos tienen estructura de variedad algebraica de dimensión infinita que puede verse como el límite inverso de los espacios de n-jets. Con esta estructura Nash probó que el espacio de arcos tiene una cantidad finita de componentes irreducibles. En el caso de superficies, existe siempre una resolución minimal cuyo divisor excepcional E se descompone en un número finito de componentes irreducibles E1, ¿ ,Er. Dado un divisor Ek, consideramos el conjunto de arcos cuyo levantamiento a la resolución envía el cero a un punto de este divisor. La clausura de estos conjuntos es irreducible. La pregunta de Nash es si todos estos conjuntos son componentes irreducibles del espacio de arcos o hay alguna inclusión no trivial entre ellos. En caso afirmativo se dice que la aplicación de Nash es biyectiva. Hasta el momento el problema de Nash estaba todavía abierto para los casos básicos de puntos dobles de superficies racionales. En este trabajo probamos que no hay ninguna inclusión no trivial para todas las singularidades de superficie cociente, en particular para E6, E7 y E8. El punto de partida d e la demostración es un teorema de [FB09] que caracteriza cada una de estas inclusiones por la existencia de ciertas familias holomorfas de arcos convergentes. La clave de nuestro método es trabajar con representantes de estas familias cuya restricción en el parámetro especial es un arco inyectivo. Mirando a los representantes observamos dos fenómenos que son clave en la demostración: - la restricción del representante para un valor del parámetro genérico puede tener varios puntos en la preimagen del origen de la superficie. Es lo que llamamos retornos. - La imagen del representante de la familia de arcos es una familia delta-constante de curvas en la superficie. Estas observaciones y el hecho de que las superficies cociente son muy conocidas permite terminar la demostración encontrando una contradicción a la existencia de dichas familias de arcos convergentes. Los argumentos son clásicos y elementales: subir el problema a C^2 por la aplicación cociente que...