Teoría de homotopía y estructuras geométricas.

Resumen

Resumen de la Tesis en Castellano Giovanni Bazzoni Esta tesis consta de cuatro distintos artículos que escribí, en colaboración con otros autores, a lo largo del Programa de Doctorado. Estos artículos tratan de la clasificación de algunos espacios h omogéneos de grupos de Lie nilpotentes y de su uso como ejemplos explícitos de variedades diferenciables dotadas de estructuras geométricas específicas. Además, hay un capítulo inicial y un apéndice final que complementan el trabajo contenido en los artículos El primer capítulos analiza la construcción de Fernández y Muñoz de una variedad simplemente conexa, simpléctica no-formal en dimensión 8. En concreto, a partir de ese trabajo, logramos construir una resolución compleja de singularidades, probando que las dos resoluciones son difeomorfas. El segundo y el tercer capítulo, que contienen los dos primeros artículos publicados, tratan de la clasificación de tipos de homotopía racional de nilvariedades. Esta clasificación se obtiene hasta dimensión 6 en el primer trabajo y en dimensión 7 en el segundo, aunque nos restringimos al caso de las 2 ¿ nilvariedades. Parte de la originalidad del trabajo consiste en el hecho de que obtenemos una clasificación sobre cualquier cuerpo k de caract erística distinta de 2, generalizando las clasificaciones presentes en la literatura. Un corolario importante de esta clasificación es el siguiente: ¿ Existen nilvariedades que tienen el mismo tipo de homotopía real pero distintos tipos de homotopía racional; ¿ Existen nilvariedades que tienen el mismo tipo de homotopía complejo pero distintos tipos de homotopía real. En los capítulos 4 y 5 estudiamos dos estructuras geométricas que están muy relacionadas con la estructuras simplécticas y Kähle r: las estructuras co-simplécticas y co-Kähler en variedades de dimensión impar. En el capítulo 4 nos centramos en los aspectos de no-formalidad de las variedades co-simplécticas. Observamos que una variedad co-simpléctica compacta M siempre tiene b 1(M)?1, puesto que la 1- f forma ? define una clase de cohomología no nula. Probamos el siguiente teorema: ¿ Para cada par (2k 1,b), k,b?1, existen ejemplos de variedades co-simplécticas compactas no-formales de dimensión 2k 1 con b1=b, excepto para el par (3,1). En el capítulo 5 demostramos un teorema de estructura para variedades co-Kähler. Es bien sabido que no toda variedad compacta co-Kähler es globalmente el producto de una variedad Kähler y un círculo. Sin embargo, conseguimos probar el