Cálculo subdiferencial de segundo orden en variedades riemannianas, con aplicaciones a la teoría de edp`s de segundo orden y a la teoría del punto fijo

Resumo

Esta tesis aporta resultados de existencia y unicidad de soluciones de viscosidad para ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden en variedades riemannianas y resultados de existencia de ceros y puntos fijos para funciones conjunto-valoradas en variedades riemannianas, que se demuestran aplicando teoría de cálculo subdiferencial, Uno de los primeros objetivos que nos planteamos al comenzar este trabajo doctoral, fue continuar las fructíferas investigaciones que dieron lugar a la tesis d octoral de Fernando López-Mesas, entre cuyos resultados se demostró la existencia y unicidad de soluciones de viscosidad para ecuaciones de Hamilton-Jacobi en variedades riemannianas. Esta extensión a ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, nos llevó a profundizar mucho más en el campo de la geometría riemanniana, introduciendo así conceptos geométricos y propiedades que necesitábamos de la función distancia entre dos puntos de la variedad. Combinando estas propiedades con las i deas de las demostraciones de los resultados que M.G. Crandall, H. Ishii y P.L. Lions incluyen en "User's guide to viscosity solutions of second order to fully nonlinear partial differential equations" y con otra literatura a la que ellos aluden, fu imos capaces de concluir con nuestro objetivo. Por otro lado, también en relación con el cálculo subdiferencial, y más concretamente con el cálculo subdiferencial proximal, nos adentramos en la teoría del punto fijo y de la búsqueda de ceros de func iones del tipo G H en variedades riemannianas, donde G y H son funciones conjunto-valoradas y cumplen una serie de propiedades que más adelante detallamos. Introducimos una definición en variedades riemannianas análoga al concepto de derivada gráfi ca o contingente para un espacio de Hilbert (que introdujo Aubin), con la que trabajamos para concluir resultados que, en parte, son novedosos incluso para espacios de Hilbert (no sólo para variedades riemannianas). Resultados de este tipo se han con seguido en espacios de Banach usando otro tipo de herramientas.