Étude géométrique et structures différentielles généralisées sur les algèbres de Lie quasi-filiformes complexes et réelles

Resumen

El propósito de esta memoria es clasificar ciertos tipos de álgebras de Lie reales y complejas cuyo nilradical posee una estructura determinada, dada por una graduación natural. Las estructuras graduadas nilpotentes ocupan un lugar privilegiado dentro de la variedad de leyes de álgebras de Lie (nilpotentes), ya que constituyen el armazón principal de ésta, en el sentido de que toda estructura no graduada puede obtenerse por deformación del álgebra graduada asociada. De este modo se establece una relación geométrica entre las órbitas, resultando que la estructura graduada asociada a cada álgebra de Lie es un punto de la clausura topológica de la órbita por la acción del grupo general lineal. En consecuencia, una clasificación de las álgebras graduadas nilpotentes es un punto de partida conveniente para abordar la clasificación de álgebras resolubles o con descomposición de Levi no trivial cuyo nilradical sea graduado naturalmente. En los últimos años, respondiendo a motivaciones distint as, diversos autores han abordado el estudio de las álgebras de Lie con nilradical graduado. Estos trabajos abarcan diversos aspectos de la teoría de Lie, desde la clasificación de familias de álgebras en dimensión arbitraria hasta la construcción ef ectiva de sistemas hamiltonianos completamente integrables, así como la búsqueda de nuevos criterios de rigidez o una formulación satisfactoria de las teorías gauge no abelianas. En este trabajo se aborda la clasificación real de álgebras de Lie cuyo nilradical n es naturalmente graduado y cuya sucesión característica es (dim(n)-2,1,1). La clasificación de álgebras de Lie nilpotentes graduadas naturalmente con nilíndice maximal, llamadas filiformes, constituye un resultado clásico de gran import ancia para el estudio de las componentes de la variedad de leyes, y las álgebras resolubles asociadas son rígidas. El siguiente paso es considerar las álgebras cuyo nilíndice es una unidad más baja, correspondiente a la sucesión característica arriba señalada, en ocasiones llamadas, por analogía, cuasi-filiformes. A diferencia del caso filiforme, en la clasificación de las álgebras de Lie con nilradical de este nilíndice deben tenerse asimismo en cuenta las álgebras nilpotentes descomponibles, l o que da lugar a una casuísta considerablemente más amplia al hallado para las álgebras filiformes. Entre todas las álgebras nilpotentes graduadas naturalmente de sucesión característica (dim(n)-2,1,1) se ha dedicado un parágrafo aparte a un caso...