Weak and strong topologies in topological abelian group

Resumen

En el marco de los espacios vectoriales topológicos, nociones como topología débil, topología de Mackey y topología fuerte son primordialmente el objeto de estudio de la teoría de dualidad. La extensión de la teoría de dualidad a la clase más amplia de los grupos topológicos abelianos encuentra serios obstáculos, como por ejemplo la falta de sentido de la noción de convexidad, que es la piedra angular en dicha teoría. A lo largo de la presente Memoria probamos resultados nuevos que permiten ampliar el conocimiento de las topologías débiles y fuertes en los grupos localmente cuasi-convexos. Para lograr nuestro objetivo, hemos consolidado el conocimiento de la topología de Bohr y de la teoría de los subconjuntos cuasi-convexos de un grupo topológico. La Tesis está estructura en tres partes: 1) Los conjuntos cuasi-convexos: sobre la estructura y caracterización de subconjuntos cuasi-convexos. Incluso en grupos elementales como los enteros o el círculo unitario complejo no hay criterios determinantes para dilucidar si un subconjunto es o no cuasi-convexo. Hemos dado luz sobre estos conjuntos, y hemos descrito distintas aplicaciones de interés más general. 2) Nuevos aspectos de la topología de Bohr y otros tipos de topologías "débiles". 3) La topología de Mackey de un grupo topológico abeliano. De hecho, esta definición aparece por primera vez en esta Tesis. El estudio en profundidad de esta topología es la motivacción que subyace en las demás secciones de la Memoria. Hemos avanzado sobre lo que ya se sabía dando resultados nuevos y estructurando más de fondo la teoría. Incluimos resultados obtenidos conjuntamente con D. Dikranjan y con M. Tkachenko, y recogidos en sendos trabajos de próxima publicación. Más publicaciones con los resultados de la Tesis están en proceso de preparación...