Función zeta motívica de singularidades quasiordinarias irreducibles

Resumen

Esta memoria versa acerca de la topología local de los puntos singulares de ciertos tipos de hipersuperficies llamadas quasiordinarias. El estudio clásico de la topología de los puntos singulares está estrechamente relacionado con el estudio de la fibración de Milnor y de su monodromía; en particular, estamos interesados en invariantes como el espectro de Hodge-Steenbrink que describen la relación existente entre los autovalores de la monodromía y la estructura de Hodge mixta de los grupos de cohomologia con soporte compacto de la fibra de Milnor. La teoría de integración motívica permite estudiar estos invariantes desde un punto de vista algebraico, con la ayuda del espacio de arcos. Estas técnicas permiten substituir la fibra de Mil nor y su monodromía por la fibra de Milnor motívica, que es un elemento del anillo de Grothendieck de las variedades algebraicas dotadas de una buena acción del grupo de las raíces de la unidad. Un importante teorema de Denef y Loeser afirma que la fibra de Milnor motívica y la fibra de Milnor clásica (junto con la monodromia) tiene la misma imagen en el anillo de Grothendieck de estructuras de Hodge dotadas de endomorfismos unipotentes. En esta memoria aplicamos el punto de vista motívico a l caso de las singularidades irreducibles quasiordinarias. Se demuestra que las funciones zeta motívicas locales, la fibra de Milnor motívica y el espectro de Hodge-Steenbrink de una singularidad quasiordinaria irreducible están determinados por el tipo topológico sumergido y se dan fórmulas precisas en función de los exponentes característicos de la singularidad. Estos resultados se obtienen estudiando el comportamiento de los arcos con ayuda de la resolución sumergida tórica para singularidad es quasiordinarias, introducida por González-Pérez. Por otra parte esta memoria estudia los árboles de Newton asociados a las singularidades quasiordinarias en los trabajos de Artal-Bartolo, Cassou-Nogués, Luengo y Melle-Hernández. Nuestro resulta do principal, en esta dirección, establece las condiciones que deben cumplir las decoraciones de un árbol tal para que exista una singularidad quasiordinaria que lo realize; para ello se relacionan las decoraciones del árbol de Newton con los exponen tes característicos de las singularidad quasiordinaria. Además se da un algoritmo para construir una ecuación de la singularidad quasiordinaria (irreducible) a partir de las decoraciones de su árbol de Newton.