Algunos aspectos del análisis lipschitziano en espacios métricos

Résumé

En los últimos años, el cálculo de primer orden desarrollado clásicamente en el marco de los espacios euclídeos, se ha extendido a espacios que no necesariamente están dotados de una estructura diferenciable. El estudio de los espacios métricos de me dida, es decir, espacios métricos dotados de una medida de Borel, es rico en aplicaciones dentro de diferentes áreas del análisis matemático, como por ejemplo en la teoría no-lineal del potencial, los grupos de Carnot, la teoría de las aplicaciones c asi-conformes y casi-regulares, ciertos resultados estructurales sobre (no) inmersiones de espacios métricos, el análisis en fractales o el análisis en grafos. A finales de los años setenta ya estaba claro que gran parte del análisis que involucra simplemente a las funciones (y no a sus derivadas), podía ser desarrollado en el contexto de espacios métricos dotados de una medida de Borel doblante. Sin embargo, la estructura de los espacios métricos dotados de una medida doblante ha resultado se r demasiado pobre a la hora de intentar desarrollar cálculo de primer orden en dichos espacios y se hace necesario imponer otro tipo de restricciones, como son que los espacios métricos admitan una desigualdad de tipo p-Poincaré. Uno de los resultad os más sorprendentes debido a Cheeger es que los espacios métricos de medida dotados de una medida doblante y que admiten una desigualdad p-Poincaré, admiten una estructura diferenciable medible con respecto a la cual las funciones Lipschitz son dife renciables en casi todo punto. Un aspecto clave del trabajo de Cheeger es un análisis cuidadoso del comportamiento infinitesimal de las funciones Lipschitz. Uno de los objetivos de esta tesis es presentar una serie de nuevos resultados que clarifica n cuándo el comportamiento infinitesimal de las funciones Lipschitz nos proporciona información sobre el comportamiento global en el contexto métrico. Por otra parte, hemos estudiado la desigualdad Poincaré en el caso límite p =infinito. Hemos dado u na caracterización analítica de esta propiedad, que pone en juego diferentes espacios de Sobolev y espacios de funciones de tipo Lipschitz en el contexto de los espacios métricos de medida. A su vez, hemos obtenido una caracterización puramente geomé trica, en términos de las curvas rectificables que posee el espacio. Finalmente, hemos estudiado el conjunto de las curvas diferenciables en la ¿alfombra de Sierpinski¿. Se incluye también un apéndice sobre diferenciabilidad métrica de funciones Lips