Desarrollo de conocimientos matemáticos informales a través de resoluciones de problemas aritméticos verbales en primer curso de educación primaria

Resumen

El objetivo general de esta investigación es estudiar el desarrollo de los conocimientos informales sobre la agrupación de base 10 y los conocimientos del valor posicional, a través del estudio de las estrategias utilizadas por los niños en la resolución de problemas aritméticos verbales, así como el análisis de las representaciones de cantidades discretas utilizadas en sus procedimientos, describiendo además, la evolución de las estrategias y representaciones a lo largo de un curso. En la investigación, han participado 54 alumnos de primer curso de educación primaria de un centro público de la zona noroeste de Madrid. Se ha diseñado un taller de resolución de problemas compuesto por 25 sesiones, una por semana, desarrollado a lo largo de un curso escolar. En el taller se han planteado problemas de estructura multiplicativa, de grupos iguales, con agrupamientos de 10, de multiplicación y división; otros de grupos iguales, sin grupos de diez; y problemas de estructura aditiva con números de dos cifras. Los problemas estaban basados en cuentos leídos en el aula. A los alumnos se les ofrecían diversos materiales manipulativos (estructurados y no estructurados), sin instrucción sobre su uso, entre los cuales podían elegir libremente. En los talleres había una fase de trabajo individual, seguida de una puesta en común, y la escritura de una carta con la explicación de proceso de resolución del problema. La recogida de datos se realiza a través de entrevistas individuales, realizadas dentro del aula, grabadas en video o anotadas en hojas de registro. Se han tomado fotografías del proceso de resolución cuando los alumnos utilizaban materiales manipulativos. Finalmente, se han recogido las hojas de trabajo de los alumnos y las cartas escritas. Para analizar las estrategias, se parte de una categorización proveniente de estudios previos. Las estrategias de modelización directa han sido analizadas prestando especial atención a la representación de las cantidades y su conteo. Esta circunstancia, unida a la libertad que se ha dado en la selección y uso de materiales, ha dado lugar a la detección de gran diversidad de modalidades de aplicación de las estrategias no descritas en estudios previos. Algunas de ellas son estrategias de transición de modelización directa a estrategias de conteo y a otras que suponen el uso de hechos numéricos, facilitadas por el uso del rekenrek y la Tabla 100. Otras muestran, con más detalle que los estudios previos, la evolución de las estrategias de modelización directa, desde la ausencia de representación de las cantidades en grupos de 10, a la representación de las cantidades separadas en decenas y unidades con ayuda de materiales no estructurados como los cartones de decenas de huevos y barras de 10 formadas con cubos encajables. Todo esto ha permitido describir la evolución, desde las estrategias informales de modelización a estrategias formales, así como el desarrollo de la comprensión de la decena, para el que se describen transiciones entre niveles de comprensión señalados en estudios previos. Tras la categorización de las estrategias, en un segundo análisis, estas se describen como sucesión de capacidades y se representan, dentro de un diagrama, como posibles caminos de aprendizaje para la resolución de un problema. Al analizar las representaciones de cantidades discretas, cada cantidad se considera compuesta por un número y un tipo de objeto, identificando cada componente como icónica, simbólica, o ambas, lo que da lugar a un esquema de clasificación. Las representaciones se han estudiado en función del momento en que se producen: el proceso de resolución del problema, la anotación de la respuesta, o la carta en que se comunican el proceso y la respuesta. Los niños han utilizado con más frecuencia representaciones icónicas para resolver problemas, aumentando las representaciones simbólicas a lo largo del taller, por el uso de la Tabla 100 y los algoritmos. Para comunicar la solución por escrito o elaborar la carta, utilizan representaciones más formales como la escritura del número y el tipo de objeto en cifras o palabras. Entre las conclusiones de la investigación, los niños de primero de primaria han utilizado preferentemente, a lo largo de todo el curso, estrategias de modelización directa que reflejan el uso de conocimientos informales. Esto se ha producido en una situación de aprendizaje gobernada por normas que permitían elegir libremente estrategias y materiales, y a pesar de los conocimientos formales que se introducían en las clases ordinarias de matemáticas. Como implicación para el aula, se propone incluir en la enseñanza tareas que fomenten el uso de conocimientos informales, proporcionando experiencias en que los niños puedan construir ideas sobre los conceptos antes de su enseñanza formal. Por ejemplo, se pueden incluir problemas de estructura multiplicativa en primer curso de educación primaria. Esto supone un cambio de enfoque, pasando a ver la resolución de problemas como vía de construcción de contenidos matemáticos, superando un enfoque aplicacionista. Asimismo, el uso de materiales manipulativos debe someterse a reflexión, otorgando más importancia al pensamiento que desarrollan los niños con ayuda de materiales de su elección, que a la propia estructura del material. La actuación de los alumnos en el taller ha evidenciado características propias de un aprendizaje con comprensión, como la conexión entre estrategias informales y formales, el conocimiento infantil de la aplicabilidad de los algoritmos de adición y sustracción, o el uso de diferentes estrategias para un mismo problema. La introducción en la educación primaria de una metodología como la descrita en el taller, inspirada en la Instrucción Cognitivamente Guiada, puede favorecer el aprendizaje con comprensión. Como implicación para la teoría, propongo utilizar las trayectorias de enseñanza-aprendizaje y los caminos de aprendizaje de una tarea, como instrumentos complementarios para el diseño curricular y la planificación de aula. Las estrategias pueden desglosarse en secuencias de capacidades, que constituyen el nivel máximo de concreción de las expectativas de aprendizaje y, desde una perspectiva más amplia, este análisis permite identificar las capacidades necesarias para pasar de unos niveles de comprensión a otros superiores. Estas herramientas sirven para articular conocimientos informales y formales, estableciendo conexiones entre ambos.