Aplicaciones de topología geométrica y algebraica al estudio de flujos continuos en variedades

Resumen

Las ecuaciones diferenciales (o su contrapartida discreta, las ecuaciones en diferencias) han formado, desde su aparición (simultánea a la del cálculo diferencial y la física moderna) y hasta hoy, la herramienta básica para modelizar fenómenos de la naturaleza, Puede argüirse, no obstante, que el trabajo verdaderamente difícil comienza al estudiar su comportamiento, y esto es algo que está presente en las matemáticas desde que éstas tuvieron la potencia suficiente para analizar fenómenos tan com plejos como la mecánica de fluidos, el problema de los tres cuerpos u otros. La insuficiencia de las herramientas estrictamente analíticas queda de manifiesto hacia mediados del siglo XIX, y es entonces cuando hacen su aparición las dos ramas que vertebran la moderna teoría de sistemas dinámicos. Por un lado se vio la utilidad de introducir herramientas procedentes de la teoría de la medida y afines para estudiar sistemas cuya evolución preservase áreas o volúmenes (por ejemplo, casi todo pu nto de un flujo que preserve una medida es recurrente), y por otro se tomó conciencia gradualmente de que ciertas propiedades de las soluciones de las ecuaciones involucradas se debían a propiedades geométricas del espacio de fases (por ejemplo, tod o flujo en la bola unidad cerrada tiene al menos un punto fijo). Desde esta óptica el interés se centró no tanto en las ecuaciones diferenciales propiamente dichas sino en los sistemas dinámicos a que estas daban lugar. Puede decirse, y probablemente no es históricamente injusto, que el padre de ambos enfoques (que, a grandes rasgos, se encuadran en lo que hoy son la teoría ergódica y la teoría de Morse) fue Poincaré. A principios del siglo XX se inició un proceso de fundamentación estricta mente topológica de los sistemas dinámicos, y esto sirvió de base para el trabajo posterior de Morse, Smale y Conley, que condujo en manos de este último al desarrollo de la teoría del índice de Conley o índice homotópico. A grandes rasgos, se obtien en estrechas relaciones entre la geometría del espacio de fases y propiedades dinámicas locales del flujo. El índice de Conley de un compacto invariante se calcula a partir de un tipo especial de entorno del mismo, llamado bloque aislante. Todo c ompacto invariante aislado posee un bloque aislante, pero no hay una elección canónica para el mismo y uno de los resultados claves en la teoría del índice de Conley es el que establece que este no depende del bloque aislante elegido para calcularlo.