R- árboles, estructuras métricas en sus espacios de finales y algunas aplicaciones a la topología geométrica

Resumen

La memoria presenta dos partes diferenciadas, teniendo la primera incidencia en la segunda, La primera parte se centra en el estudio de la geometría a gran escala de los R-árboles en términos de conceptos y técnicas de naturaleza métrica de sus c orrespondientes espacios de finales. Asimismo se utilizan los resultados encontrados para dar algunas aplicaciones a la teoría de la forma; en este sentido, y esencialmente, se pone de manifiesto una estrecha relación que permite describir de modo n ovedoso y reformular conceptos y resultados de ésta última en términos de la geometría a gran escala de los R-árboles. El enfoque de esta primera parte es fundamentalmente categórico. Los resultados de esta parte cierran el problema de la clasificac ión ¿coarse¿ de R-árboles en términos de sus finales y abren la puerta a un tratamiento distinto de las acciones y ¿casi-acciones¿ de grupos en R-árboles. También aparece de manera clara en la memoria cómo las distintas clasificaciones, todas ellas relacionadas con la geometría a gran escala, de los R-árboles se ven reflejadas en conceptos como continuidad uniforme, funciones lipschitz, bi-Holder, conformes y casi-conformes¿etc. Modulando las primeras las diferencias entre estas segunda y vicev ersa. La segunda parte está inspirada, de alguna manera, por la primera aunque las ideas y herramientas proceden también de la Teoría de Sistemas Dinámicos. Esta segunda parte está presentada como el inicio y fundamento de un trabajo más continuad o en el futuro. Se pone de manifiesto cómo, de manera natural, una métrica convexa induce una dinámica canónica en el hiperespacio con la métrica extendida a la métrica de Hausdorff. Este marco provee, de una forma natural, el problema de estudiar lo s tipos, topológicos, homotópicos¿etc, alcanzados por el movimiento inducido en la copia canónica hasta llegar al atractor global del semiflujo que es un punto y por, tanto, trivial en dichas clasificaciones. Se construye también una ¿geometrización¿ del semiflujo al intentar reflejar dicho movimiento en un R-árbol asociado y construido en la memoria usando funciones de Whitney en los hiperespacios. También se utiliza el semiflujo para diferenciar la ¿posición¿ métrica de los puntos en un cont inuo de Peano. Dicha posición se mide por medio de una especie de función energía asociada canónicamente al movimiento inducido, en el hiperespacio, por la métrica convexa