Arcos y series de Poincaré motívicas de singularidades

Resumen

En esta tesis estudiamos un invariante de singularidades, la serie de Poincaré motívica geométrica Pgeom (T), Es un invariante, poco conocido aún, que estudia ciertas propiedades de finitud del espacio de arcos de una variedad. El espacio de arcos de una variedad contiene información sobre la variedad, en particular sobre el lugar singular, como demuestran trabajos recientes de Ishii o de Mustata. La serie Pgeom (T) fue introducida por Denef y Loeser y ellos mismos demostraron que es racional . Sin embargo su prueba no es constructiva, ya que utiliza eliminación de cuantificadores en conjuntos semialgebraicos o importantes resultados de integración motívica. Es por tanto interesante expresar la forma racional de la serie Pgeom (T) para fa milias de singularidades. En la tesis estudiamos esta serie para variedades tóricas y para hipersuperficies casiordinarias. En ambos casos expresamos la forma racional de la serie en función de unos ideales, ideales logarítmicos jacobianos Jk, para k=1,¿,d, definidos de forma combinatoria a partir del semigrupo (caso tórico) o de los exponentes característicos (caso casiordinario). Estos ideales se definen geométricamente en función de k-formas diferenciales. Nuestras pruebas son constr uctivas y pasan por el cálculo de las funciones generatrices asociadas a ciertos semigrupos que, en general, no son de tipo finito. Podemos ver estos semigrupos como proyecciones lineales de puntos enteros en el interior de un cono, y probamos que di chas funciones generatrices asociadas a proyecciones lineales de puntos enteros en conos abiertos tienen forma racional.