Polinomios ortogonalmente aditivos y aplicaciones (orthogonally additive polynomials and applications)

Resumen

En toda teoría de operadores, tanto lineales como no lineales, es fundamental disponer de teoremas de representación que nos permitan el manejo de los mismos, Un buen ejemplo de este hecho lo encontramos en el marco del Análisis Funcional lineal con el Teorema de Riesz para la representación integral de los funcionales lineales y continuos sobre un espacio C(K). En los últimos años han sido muchos los matemáticos interesados en el estudio de operadores no lineales entre espacios de Banach, en p articular de polinomios. De nuevo, siempre es deseable disponer de teoremas de representación que nos permitan estudiar su comportamiento y propiedades. Recientemente, Benyamini, Lassalle y Llavona obtienen un teorema de representación para la clase de polinomios ortogonalmente aditivos sobre retículos de Banach. La potencia de este teorema radica en que todo polinomio n-homogéneo de esta clase se representa a través de un funcional lineal y continuo sobre la n-concavificación del espacio, es decir, su estudio se reduce a un problema lineal. Este es el punto de partida de esta tesis doctoral. Siguiendo el enfoque mencionado, hemos obtenido numerosas aplicaciones a campos tan diversos como la teoría espectral de operadores en espacios de Hilbert y resultados de estructura de retículos de Hilbert. Extendemos asimismo la noción de ortogonalidad aditiva al marco de los espacios de Riesz, logrando probar el teorema de representación de polinomios ortogonalmente aditivos en este contexto . Se ha extendido la teoría clásica de momentos de Hausdorff, tanto en el caso real del intervalo [0,1] como en el caso trigonométrico del círculo unidad T, estudiando el problema multilineal. En este contexto, en el caso [0,1] aparecen tres problem as que denominamos, problema fuerte, problema débil y problema clásico que estudiamos y resolvemos en su totalidad. Finalmente, se han dado los primeros pasos para el desarrollo de una teoría similar a la de polinomios ortogonales pero aplicada a u na clase más amplia de funciones poniendo especial atención en espacios C[0,1] y Lp.