Métodos matemáticos en problemas de entrelazamientoconvertibilidad de estados, medidas conjuntas y halmiltonianos en PEPS

Resumen

Esta tesis presenta diversos resultados que surgen de problemas relacionados con una de las propiedades más importantes de la Mecánica Cuántica, el entrelazamiento, y con los objetos matemáticos con los que se intenta describir el papel del entrelazamiento en sistemas de materia condensada, los llamados rojected Entangled Pair States o PEPS. Los problemas que resolvemos provienen de diferentes preguntas, relacionadas con cuestiones fundacionales, protocolos cuánticos y sistemas cuánticos de muchas partículas. ¿Qué tipo de estados se pueden conseguir a partir de otro dado en dos laboratorios que sólo pueden comunicarse clásicamente? ¿Cuál es la relación entre la incertidumbre ligada a las medidas cuánticas y las correlaciones no clásicas que pueden aparecer entre los resultados de las medidas? Y, ¿cuál es la relación entre estados y hamiltonianos en el problema de clasificación de fases cuánticas de la materia?El primer problema al que nos enfrentamos surge del estudio de qué estados cuánticos pueden transformarse en otros en dos sitios alejados usando únicamente operaciones locales, comunicación clásica y catalizadores. En el estudio de estas relaciones entre estados intervienen propiedades de simetría y multiplicatividad, lo que nos lleva a la siguiente pregunta en términos matemáticos: dados dos espacios X e Y con base simétrica, ¿qué condiciones ha de cumplir una norma tensorial para que la base producto sea una base simétrica del producto tensorial? También nos hacemos la pregunta análoga en espacios invariantes por reordenamiento. Como resultado, obtenenemos caracterizaciones de los espacios l_p y c_0, y de los espacios L_p.En segundo lugar, caracterizamos las medidas que se pueden realizar simultáneamente. Desde que Heisenberg estableció el conocido Principio de Incertidumbre, es bien sabido que hay ciertas magnitudes que no se pueden determinar conjuntamente con precisión. Se sabe que en el caso de medidas proyectivas la solución depende de la conmutatividad de los observables asociados a la medida. Sin embargo, en el caso de medidas generalizadas no se había obtenido ninguna condición más allá del caso de qubits. Damos una caracterización en términos de las correlaciones cuánticas que esas medidas pueden mostrar, mediante el cálculo de la máxima violación posible de las desigualdades de Bell que se pueden construir si una de las partes implicadas usa esas medidas, lo que establece una relación novedosa entre dos consecuencias fundamentales de la Mecánica Cuántica: el Principio de Incertidumbre y la no localidad.Por último, estudiamos el problema de la relación entre estados y hamiltonianos para PEPS dos-dimensionales y MPS, dada la importancia de esta pregunta en el estudio de fases cuánticas de la materia: ¿se pueden conseguir diferentes hamiltonianos con distintas propiedades que tengan al estado como estado fundamental? Para este fin, estudiamos la robustez de la construcción del hamiltonian parent asociado: ¿llevan pequeñas perturbaciones de la descripción tensorial de los PEPS y MPS a pequeñas perturbaciones de los hamiltonianos parent? En el caso de MPS mostramos en qué casos la construcción es robusta para perturbaciones de las matrices que definen el estado, y, cuando no lo es, construimos una nueva familia de hamiltonianos, los hamiltonianos uncle, como el límite de los hamiltonianos parent cuando la perturbación se anula. Demostramos que el hamiltoniano uncle tiene el mismo conjunto de estados fundamentales que el hamiltoniano parent, y que no presenta gap espectral. Esto contrasta con el hecho de que el hamiltoniano parent siempre tiene gap. En el caso de PEPS de dimensión dos, construimos también un hamiltoniano uncle para el código tórico para una perturbación concreta, obteniendo resultados similares respecto al conjunto de estados fundamentales y la comparativa de los espectros, aun siendo un sistema con orden topológico.