Índice de punto fijo en productos simétricos

Resumen

Partimos de una función continua f desde U un subconjunto abierto de un ANR (para espacios métricos) localmente compacto X. Sea K un conjunto compacto, invariante y aislado con respecto a la función f y contenido en U. Nuestro objetivo es profundizar en el estudio de la dinámica de f en K. De especial interés es la obtención de información acerca de las órbitas periódicas de f contenidas en K. Para ello, en la presente memoria construiremos índices de punto fijo de la aplicación inducida en el n-producto simétrico de X, SPn(X). Este estudio parte de la filosofía del trabajo de J.M. Salazar en los subconjuntos finitos de X, no vacíos, con, a lo sumo, n elementos, Fn(X), también llamados por algunos autores productos simétricos. Estos espacios fueron considerados en 1931 por Borsuk y Ulam con el nombre de n-producto simétrico de X. Los autores investigaron las propiedades topológicas que heredaban de X los n-productos simétricos Fn(X), y consideraron X = I para estudiar las propiedades topológicas de Fn(I). Se sabe que SPn(X) = Fn(X) si n = 2.En trabajos anteriores ya se apuntaba que podría ser interesante estudiar el índice de punto fijo en SPn(X) dado que se puede esperar un comportamiento aditivo mejor que en los espacios Fn(X). Masih y Rallis han definido ciertos índices para aplicaciones desde X a SPn(X) por tanto con un enfoque y objetivos completamente diferentes a los nuestros. Se trata de un marco muy natural pero apenas explorado para estudiar órbitas periódicas de sistemas dinámicos discretos.Por la naturaleza de nuestra construcción, el índice que desarrollaremos dará información sobre las órbitas periódicas, contenidas en K, de periodo menor o igual que n. Nos centraremos especialmente en el estudio de los homeomorfismos del plano aunque nuestra construcción sea completamente general. En este marco desarrollaremos técnicas que permitan el cálculo de las características de Euler de los n-productos simétricos de variedades de dimensión finita. Nuestro enfoque puede ser de cierto interés, y a ello se dedica una sección, por ser una alternativa completamente diferente a las empleadas en la literatura existente. Pondremos especial atención en las superficies compactas, orientables y sin borde, para las que haremos el cómputo completo. Extenderemos de manera natural la construcción a los productossimétricos infinitos asociando a cada punto fijo, aislado como órbita periódica, una serie formal compleja. En el caso particular de tener un punto fijo aislado como compacto invariante que no sea atractor ni repulsor, asociaremos a cada germen un polinomio. Estudiaremos qué reflejo tienen algunas propiedades dinámicas en la serie asociada.Por último, siguiendo el trabajo de Ruiz del Portal y Salazar, estudiaremos desde nuestro punto de vista compactos invariantes aislados del plano que admiten entornos aislantes formados por uniones de discos para esbozar la técnica de detección de órbitas periódicas y caos.