Polinomios ortogonales y sistemas integrables

Resumen

Esta tesis tiene como objetivo principal establecer conexiones entre dos áreas de las matemáticas con una gran relevancia en física, como son los sistemas integrables y los polinomios ortogonales. A pesar de haber sido tratada en varias ocasiones (sobre todo en las series de trabajos de Mark Adler y Pierre van Moerbeke) nosotros empleamos el enfoque basado en identidades de factorización de Gauss y lo aplicamos sistemáticamente a diversos ejemplos de sistemas ortogonales, como son los polinomios matriciales, los polinomios múltiplemente ortogonales y los polinomios de Laurent ortogonales en el círculo unitario. En primer lugar y a modo de introducción revisamos los resultados principales respecto a la jerarquía integrable de Toda en su versión bidimensional multi-componente. Se empieza planteando el problema de factorización gaussiana, la deducción de las ecuaciones de la jerarquía integrable a partir de ella y el estudio de determinadas reducciones a relacionadas con simetrías de la condición inicial del sistema dinámico.A continuación estudiamos el caso de los polinomios matriciales, que es el que se puede deducir inmediatamente a partir de lo planteado en el primer capítulo; para ello es necesario construir familias de polinomios ortogonales a partir de un problema de factorización. El siguiente paso natural es estudiar lo que se denomina después la simetría Hankel generalizada, que sirve como punto de partida de la generalización de los polinomios estudiados por Adler y van Moerbeke. En particular obtenemos un problema de Riemann-Hilbert para ellos, las relaciones de recurrencia y la fórmula de Christoffel-Darboux.El siguiente paso natural es estudiar lo que ocurre con los polinomios múltiplemente ortogonales, y en particular los de tipo mixto. Siguiendo la metodología del apartado anterior obtenemos resultados sobre la estructura de las relaciones de recurrencia múltiples, la fórmula de Christoffel-Darboux (obteniendo una demostración alternativa a la de Evi Daems y Arno Kuijlars), y las transformadas de Cauchy de los polinomios. Por último estudiamos el sistema integrable subyacente (que es una versión escalar del planteado en la introducción). Además de considerar transformaciones de tipo continuo se pueden considerar transformaciones de tipo discreto, lo que relaciona estas trasformaciones con las llamadas transformaciones de Miwa. Consecuencia de ello son las expresiones para las llamadas funciones tau que permiten representar los polinomios múltiplemente ortogonales y sus transformadas de Cauchy en términos de los llamados shifts de Miwa.Por último la tesis aborda el problema de los polinomios ortogonales en el círculo unitario (o polinomio de Szego) de forma indirecta, a través de la llamada representación CMV (de Cantero-Moral-Velázquez). El capítulo se puede tratar de forma análoga al capítulo anterior, de modo que para su estudio se pueden aplicar las mismas técnicas. Considerado como un sistema particular de dos componentes se puede proceder al estudio de las relaciones de recurrencia, el estudio de las fórmulas de Christoffel-Darboux y las transformadas de Cauchy. Para complementarlo se estudian también los efectos de un cambio de ordenación en las potencias, lo que tiene como consecuencia fórmulas más generales que las encontradas anteriormente. Como punto final estudiamos las transformaciones continuas y discretas que permiten considerar el sistema dinámico formado por los coeficientes de Verblunsky como una reducción de Toda llamada en ocasiones red de Toeplitz, y cuya reducción real ha sido estudiada con el principal objeto de obtener propiedades de los ceros de los polinomios de Szego.