Análisis no-regular y teoremas de inversión global

Resumen

Un problema natural es estudiar bajo qué condiciones se puede obtener que un difeomorfismo local en el espacio Euclídeo sea un difeomorfismo global o, equivalentemente, que sea globalmente invertible. El primero en considerar este tipo de problema fue Hadamard en 1906, quien establece una condición suficiente en términos del crecimiento de la norma de la inversa de la derivada, conocida como condición integral de Hadamard. Un amplio número de extensiones y variantes han sido obtenidas en diferentes contextos. Por ejemplo, Plastock en 1974 prueba un análogo de esta condición en el marco de espacios de Banach. En un contexto no-regular, F. John obtiene una variante de esta condición para un homeomorfismo local f entre espacios de Banach usando la derivada Dini escalar inferior de f. En el caso finito dimensional, Pourciau estudia la inversión global de funciones localmente Lipschitz en el espacio n-dimensional Euclídeo usando el Jacobiano generalizado de Clarke y obtiene una variante de esta condición en este contexto. En el 2007, Gutú y Jaramillo estudian la inversión global en un contexto de espacios métricos, y también obtienen una versión de esta condición. Por otro lado, con un enfoque diferente, Fernandez, Gutiérrez y Rabanal y Biasi, Gutiérrez y dos Santos obtienen resultados de inyectividad global e inversión global bajo condiciones espectrales. En esta tesis se continúa y profundiza en esta línea de investigación. La tesis consta de 4 capítulos y un apéndice y está organizada de la siguiente manera. Los dos primeros capítulos son introductorios. En el capítulo 1 encontramos un amplio resumen sobre el Jacobiano generalizado de Clarke y sobre las variedades diferenciables y Finsler, que son el contexto donde obtenemos nuestros nuevos resultados de inversión global. En el capítulo 2, se estudian resultados de inversión global tanto en el contexto regular como en el no-regular, siendo algunos de ellos extendidos en los capítulos 3 y 4. En el capítulo 3, se empieza a exponer nuestros nuevos resultados de inversión global. Para este fin hemos desarrollado un análogo de Jacobiano generalizado de Clarke en un contexto de variedades Finsler, y exploramos la conexión de la derivada Dini escalar superior con la contante de Lipschitz local, que es un resultado importante para la prueba de nuestro teorema principal en este capítulo. Por último, se obtiene una variante de la condición integral de Hadamard en términos de condiciones espectrales de la diferencial generalizada de Clarke. A continuación, en el capítulo 4, se presentan una serie de resultados nuevos de inversión global para funciones que pueden ser no localmente Lipschitz en el espacio n-dimensional Euclídeo. Para este fin, hemos usado el concepto de pseudo-Jacobiano introducido por Jeyakumar y Luc, y hemos definido el índice de regularidad relacionado a este pseudo-Jacobiano. Además, estudiamos la conexión de este índice con la derivada Dini escalar inferior y con esto damos como teorema principal en este capítulo una caracterización de inversión global para una función definida entre espacios n-dimensionales Euclídeos en términos del índice de regularidad de f. Y para terminar, obtenemos resultados por un lado, estimando el dominio de invertibilidad de f alrededor de un punto y por otro, dando una condición integral de Hadamard en términos del índice de regularidad asociado a la función f. En el capítulo 5, que se presenta como un apéndice en esta tesis, pasamos de estudiar problemas de diferenciabilidad a estudiar cuestiones de tipo geométrico y en un ambiente de espacios de Banach. En concreto, damos una caracterización para que un espacio de Banach tenga la propiedad de Radon-Nikodym. El problema puede ser planteado en términos de un juego matemático, donde hay dos jugadores y se ofrecen ciertas condiciones para que uno de ellos tenga una estrategia ganadora.