Generalized hermite polynomials in the description of Chebyshev-like polynomials

Resumen

En esta memoria se obtienen y analizan algunos modelos matemáticos de remodelación y reparación ósea. Para ello, y tras un primer capítulo introductorio en el que se presentan resultados preliminares para los estudios posteriores, se aborda en el Capítulo 2 la modelización del mecanismo de mantenimiento que tiene lugar a lo largo de la vida de cada persona, y en virtud del cual en pequeñas regiones del esqueleto el hueso viejo es reemplazado por el nuevo de manera que la cantidad total de hueso permanece constante.En concreto, en el capítulo 2 se formula un modelo matemático mínimo para el funcionamiento de las llamadas BMU Basic Multicellular Units, grupos de células diferenciadas que actúan coordinadamente para eliminar hueso en regiones marcadas para ello generalmente mediante señales emitidas por osteocitos, que actúan como sensores mecánicos y a continuación generan una matriz extracelular que, tras su mineralización, da lugar al nuevo hueso que reemplaza al antiguo. La actuación de tales unidades orgánicas es conocida desde los años 60 del siglo pasado, y aunque su esquema general de actuación es conocido, y muchas de las señales químicas involucradas han sido identificadas, el mecanismo preciso por el que tales unidades se forman cuando es necesario y se deshacen una vez cumplida su tarea, sigue sin ser bien conocido.Proponemos un modelo operativo simple para BMUs, que se basa en las siguientes hipótesis. En primer lugar, cada célula en una BMU puede elegir una entre un número muy limitado de posibles acciones a realizar dividirse, diferenciarse a otro tipo celular o morir. El resultado de esta suma de decisiones individuales independientes es una acción coordinada y perfectamente regulada, que permite remodelar la zona elegida para ello de manera robusta y eficaz, como se observa mediante el análisis de los resultados obtenidos al simular el modelo correspondiente, y que se presentan en el mismo capítulo.En el tercer capítulo de esta memoria se estudia la sucesión de procesos que tienen lugar en las etapas tempranas de la reparación del hueso después de producirse una fractura, y que son cruciales para una completa curación del mismo. Se propone un modelo matemático que permite estimar los tiempos característicos de tales procesos en términos de sus parámetros cinéticos. Para ello, se analizan tales etapas de manera separada, hasta la formación del primer callo fibroso, que proporciona el molde básico sobre el que posteriores procesos de remodelación no estudiados en esta memoria darán finalmente lugar a nuevo tejido óseo, plenamente funcional.El modelo propuesto es de tipo modular, de modo que consiste en una concatenación de modelos simples que se suceden uno a uno hasta completar la etapa temprana de reparación estudiada. Se comienza por describir la formación de un coágulo sanguíneo inducido por la fractura, cuya aparición se caracteriza como una transición de fase tipo sol-gel, en la que el coágulo resultante es descrito como un gel. La formación de dicho coágulo, que debe conectar los bordes de la fractura proporcionando una primera unión entre ambos, es condición necesaria para el éxito del proceso completo de reparación . Tras proponer un modelo de tipo clásico para la difusión del factor de crecimiento, se obtiene una solución explícita para dicha función, cuyo gradiente provoca el movimiento por quimiotaxis de las células mesenquimales desde el borde la fractura hacia su interior.