Espacios de aproximación, interpolación límite y espacios de besov (approximation spaces, limiting interpolation and besov spaces)

Resumen

La memoria profundiza en la conexión existente entre Teoría de Interpolación y Teoría de Aproximación, dando aplicaciones a la Teoría de Espacios de Funciones, principalmente a Espacios de Besov. Después de fijar la notación e introducir los conceptos y construcciones principales en el Capítulo 2, se estudia la reiteración de construcciones por aproximación tanto clásicas como límites en el Capítulo 3. Los resultados se aplican a varios problemas en espacios de Besov de regularidad generalizada. Entre otros, se estudia la relación entre la regularidad de una función f y sus derivadas, el comportamiento asintótico de los coeficientes de Fourier de funciones en espacios de Besov y la acotación del operador función-conjugada. En el Capítulo 4 se investiga las propiedades de compacidad de operadores actuando entre espacios de aproximación. Como consecuencia de los resultados abstractos, deducimos la compacidad de inyecciones entre espacios de Besov. El Capítulo 5 comienza estudiando inyecciones de espacios de Besov de regularidad generalizada en espacios de Lorentz-Zygmund. Los espacios de Besov son introducidos empleando diferencias, pero uno puede definir espacios similares usando la transformada de Fourier. En la segunda sección del capítulo se establecen relaciones entre ambos espacios. También se establecen inyecciones entre espacios de Besov con diferentes métricas, y el capítulo se cierra estudiando la conexión entre los espacios de Besov y los espacios de Lipschitz logarítmicos. En el Capítulo 6 se muestran otras aplicaciones de los resultados abstractos sobre métodos límites de interpolación obtenidos en los capítulos anteriores. Se comienza caracterizando el espacio dual de los espacios de Besov de suavidad generalizada en términos de los espacios de Lipschitz logarítmicos. También se consiguen resultados sobre el comportamiento de los coeficientes de Fourier. Primero se investiga un caso límite que quedó abierto en el Capítulo 3 y después, se considera el caso de espacios de funciones muy próximos a L1 y a L2. En el Capítulo 7 se estudia la dependencia respecto de la dimensión d de las constantes de inyección de inclusiones de Sobolev para espacios de Besov. Se obtienen resultados tanto para espacios de Besov clásicos como para sus generalizaciones. Se prueba que el comportamiento de la norma respecto de d es únicamente polinomial. El Capítulo 8 da respuesta a una cuestión planteada por el Prof. H.-J. Schmeisser que prueba que los espacios de Besov modelados en espacios de Zygmund se pueden caracterizar vía extrapolación en términos de espacios de Besov clásicos. Se obtienen más resultados sobre los espacios de Besov-Zygmund, tales como su dualidad, relaciones con los espacios de Besov de regularidad generalizada y caracterización de la inyección en el espacio de las funciones continuas en el caso crítico. Finalmente, en el Capítulo 9, se obtienen otras caracterizaciones equivalentes de los espacios de Besov de regularidad logarítmica dados por diferencias en términos de otras medias, como son, entre otras, la transformada de Fourier, wavelets y semigrupos de operadores. Tanto en la descripción mediante la transformada de Fourier como en la correspondiente a las wavelets, aparece una construcción de tipo Littlewood-Paley truncada que no surge en el caso clásico. Los resultados abstractos sobre semigrupos de operadores, son particularizados al caso de los núcleos del calor y al semigrupo de Cauchy-Poisson.