On smooth approximation and extension on Banach spaces and applications to Banach-Finsler manifolds

Resumen

El marco de esta memoria es la teoría de diferenciabilidad en espacios de Banach y en variedades de tipo Banach-Finsler. En ella nos ocupamos de varias cuestiones diferentes que, como iremos viendo, están muy relacionadas entre sí. El primer problema que abordamos trata de caracterizar los espacios de Banach separables donde existen funciones meseta diferenciables que localmente dependen de un número finito de coordenadas. Recordemos que una función meseta definida en un espacio de Banach X es una función real-valuada f : X ! R tal que su soporte es no vacío y acotado, es decir, existe un elemento x 2 X tal que f(x) 6= 0 y la clausura del conjunto fx 2 X : f(x) 6= 0g es acotada. La existencia de una función meseta con buenas condiciones nos proporciona una gran cantidad de propiedades geométricas y de herramientas que no disponemos en otros espacios de Banach. Un buen ejemplo es un espacio de Banach el cual admite una función meseta diferenciable, ya que ésta implica que el espacio sea Asplund y admita particiones de la unidad diferenciables. La propiedad en la que nosotros estamos interesados es la siguiente: una función f : X ! R, definida en un espacio de Banach, localmente depende de un número finito de coordenadas (LFC, para acortar) siempre que localmente se pueda factorizar a través de espacios de dimensión finita, es decir, para todo x 2 X, existan un entorno U de x, una cantidad finita de funcionales ff1; : : : ; fng X y una función continua g : Rn ! R tales que f(y) = g(f1(y); : : : ; fn(y)) para todo y 2 U...