Sistemas integrables discretos, polinomios matriciales ortogonales y problemas de Riemann-Hilbert

Resumen

El propósito de esta tesis doctoral es el estudio de la conexión, mediante el problema de Riemann-Hilbert, entre sistemas discretos y la teoría de polinomios matriciales ortogonales. La investigación de los modelos integrables se originó en la Mecánica Clásica, en relación a la resolución de las ecuaciones de Newton. Fue la aplicación, en la segunda mitad del siglo pasado, de la transformada espectral inversa para la resolución del problema de Cauchy de la ecuación de Korteweg-de Vries la que marcó el inicio de una nueva etapa en este campo, el del estudio de sistemas integrables con un número infinito de grados de libertad. En las últimas tres décadas ha habido un importante interés por el estudio de modelos discretos, v.g., sistemas dinámicos definidos en un retículo de puntos, y expresados en términos de ecuaciones no lineales. En esta tesis, utilizamos diversas técnicas analíticas y algebraicas, diseñadas originalmente para el estudio del caso continuo, son usadas para investigar las propiedades de una nueva clase de sistemas integrables: modelos discretos matriciales. Los modelos que estudiamos se pueden considerar como versiones matriciales de ecuaciones de Painlevé discretas. Las ecuaciones de Painlevé continuas se introdujeron al comienzo del siglo pasado cuando se intentaba clasificar singularidades móviles, y juegan un papel importante en la Física matemática moderna. Recientemente se han encontrado aplicaciones de las mismas en gravedad cuántica bidimensional y en teorías topológicas de campos - Enseguida se encontraron múltiples conexiones entre la propiedad de Painlevé y el concepto de integrabilidad. Esta conexión motivó la introducción de un análogo algebraico y discreto de la propiedad de Painlevé, que fue llamada confinamiento de singularidades. La idea clave tras está propiedad es simple, las singularidades pueden aparecer, pero tras una pocas interacciones desaparecerán. En esta tesis hemos sido capaces de construir nuevos sistemas integrables que extienden algunas ecuaciones de Painlevé discretas conocidas en la literatura. Las obtenemos mediante una importante herramienta analítica, el método de Riemann-Hilbert , que permite la resolución de un número muy amplio de problemas tanto en matemática pura como en matemática aplicada. En términos sencillos, el problema de Riemann--Hilbert consiste en reconstruir una función analítica conocidos sus saltos o discontinuidades en el plano. En 1992 el método de Riemann-Hilbert se relacionó con los polinomios ortogonales, lo que constituye otro de los pilares de nuestra investigación. Así, nosotros derivaremos nuestros sistemas integrables usando una generalización de la técnica de Riemann--Hilbert, donde los polinomios ortogonales escalares son reemplazados por sus versiones matriciales. Para ser más precisos, nos centraremos en los polinomios de Freud, tanto en la recta real como en el círculo unitario. Los resultados principales de la tesis son los siguientes. Hemos generalizado y resuelto el problema de Riemann--Hilbert asociado a polinomios matriciales ortogonales de tipo Freud tanto en la recta real como en el círculo unitario. Se han derivado nuevos sistemas integrables. Estos se pueden considerar como extensiones matriciales de las ecuaciones de Painlevé discretas I y II. Hemos realizado un análisis completo del confinamiento de singularidades la la ecuación matricial discreta de Painlevé I obtenida en la resolución del problema de Riemann--Hilbert en la recta real. Hemos demostrado analíticamente la presencia de dicha propiedad genéricamente. El conjunto de condiciones iniciales en donde no se da definen variedades algebraicas de co-dimensión superior o igual a uno en el espacio de parámetros. Esta tesis se organiza en cuatro capítulos y un apéndice. Corresponden a tres artículos publicados y a un preprint.