Técnicas en análisis lineal (y no lineal) y aplicaciones

Resumen

La presente tesis está centrada en dos temas principales: el primero abarca el primer capítulo y el segundo se divide entre los capítulos dos y tres. En el primer capítulo estudio un problema que apareció como tal hace relativamente poco tiempo aunque ya en la segunda mitad del pasado siglo se publicaron una serie de resultados que, con la terminología adecuada, estarían englobados dentro de esta teoría. Nos interesaremos en la búsqueda de estructuras algebraicas contenidas en subconjuntos de funciones cuyos elementos con la posible excepción del elemento nulo verifican ciertas propiedades anti-intuitivas. Más específicamente, decimos que un subconjunto de un espacio vectorial topológico es A-lineable dado un numero cardinal A si podemos garantizar la existencia de un espacio vectorial de dimensión A contenido en el conjunto con la posible unión del elemento cero. Si el espacio vectorial es cerrado, nos referiremos a este conjunto como A-espaciable (y la propiedad que trataremos sería la de A-espaciabilidad y si la estructura en cuestión es un álgebra de Banach, entonces diremos que el conjunto es c,c-algebrable (donde aquí c es la cardinalidad de un conjunto minimal de generadores del álgebra. Si no se especifica ningún número cardinal, entendemos que la estructura a considerar es simplemente de dimensión infinita. Los conjuntos que se estudian en esta tesis, en cuanto a las propiedades anti-intuitivas en las que nos centramos, se componen de funciones definidas sobre la recta real. El segundo tema que se trata en esta tesis y que cubriremos en el resto de la misma estudia distintas normas de polinomios. En el segundo capítulo nos centraremos en la comparación de las normas de un polinomio y su derivada. Aunque estos problemas se han estudiado con diligencia en el caso de polinomios sobre espacios de Banach, usaremos un punto de vista diferente que propone estudiar espacios de polinomios dotados de una seminorma. Con este nuevo acercamiento, estudiamos si los resultados conocidos para espacios de Banach siguen siendo válidos. En concreto, incluimos los resultados cuando se consideran los sectores circulares de amplitud 45 y 90 grados. El tríptico formado por el triángulo, el cuadrado recogidos también en la memoria de la tesis)y los sectores circulares de amplitud 90 grados forma un grupo interesante, ya que cada uno de estos cuerpos es la restricción de la bola unidad de un espacio de Banach muy familiar, al primer cuadrante. El tercer y último capítulo continúa la comparación entre normas de polinomios. La constante de Bohnenblust-Hille relaciona la norma de un polinomio, vista como función definida sombre un espacio de Banach de la misma forma que fue considerada en el capítulo anterior, el supremo sobre la bola unidad del espacio, y la norma p de los coeficientes del polinomio. El problema que estudiaremos en esta tesis es el comportamiento puntual o asintótico que las constantes de Bohnenblust-Hille presentan. En este tercer capítulo estudiaremos primero el caso de polinomios definidos sobre los números reales, con coeficientes reales, y estudiaremos si la desigualdad de Bohnenblust-Hille para polinomios reales es subexponencial, y cuál es el crecimiento óptimo. Responderemos a estas preguntas mostrando que, para polinomios definidos sobre los números reales, el límite de las constantes tiende a 2. También seremos capaces de demostrar el valor exacto para el caso de polinomios complejos homogéneos de grado 2. En las últimas secciones de este tercer y último capítulo, seguiremos con la misma estrategia para obtener resultados para polinomios de grados superiores. En este caso, no podemos dar el valor exacto, pero podemos dar cotas superiores, junto con evidencia simbólica de que estas estimaciones deben aproximarse bastante a la constante correspondiente.