Homogenization of elliptic problems in thin domains with oscillatory boundaries

Resumen

En esta Tesis Doctoral se estudia el comportamiento de las soluciones de la ecuación de Poisson con condiciones de frontera de tipo Neumann homogéneo en dominio finos bi-dimenionales con fronteras oscilantes. El objetivo principal de la Tesis es analizar cómo la geometría de los dominios finos afecta al comportamiento de las soluciones, especialmente en aquellos casos que van más allá del marco puramente periódico. Es importante destacar que aunque la cantidad de trabajos de investigación en el campo de la homogeneización periódica es bastante grande sólo unos pocos van más allá de las hipótesis de periodicidad. Realmente son muchas las dificultades que aparecen para adaptar las técnicas usuales a situaciones donde de alguna manera se pierde la periodicidad, por ejemplo en casos localmente periódicos. En el Capítulo I, que se puede considerar introductorio, se adapta la reciente técnica conocida como ¿Unfolding Method¿ al caso en el que los dominios finos presentan oscilaciones periódicas en la frontera superior. En el análisis se diferencian tres posibles comportamientos en función del orden de frecuencia de las oscilaciones: caso crítico o resonante, oscilaciones débiles y oscilaciones fuertes. Es importante destacar que el método del unfolding se presenta como un procedimiento general que permite tratar las tres posibles situaciones mencionadas previamente de una forma unificada. La principal contribución de este capítulo es que se consideran fronteras oscilantes muy poco regulares donde no es posible definir, de una forma razonable, operadores de extensión. Además de obtener los problemas límites homogeneizados se prueban resultados de correctores. El Capítulo II aborda el caso en el que los dominios finos presentan oscilaciones localmente periódicas en la frontera superior permitiendo que tanto la amplitud como el periodo de las oscilaciones varíen. Extendiendo el método del unfolding a esta situación no periódica se consigue entender como el periodo variable y la geometría de la frontera afectan al problema límite homogeneizado. En este caso también se obtienen correctores. En el Capítulo III se consideran dominios finos con oscilaciones en la frontera inferior y superior. Cabe destacar que los casos analizados en este capítulo van más allá del marco puramente periódico pues el periodo y el orden de frecuencia de las oscilaciones de las dos fronteras no tienen por qué coincidir. Combinando diferentes técnicas dependiendo del orden de frecuencia de oscilación que presentan las dos fronteras se obtienen los correspondientes problemas límites homogeneizados y resultados de correctores.