El problema de Lagrange en cartografía

Resumen

Analizamos y revisamos, con especial cuidado en las fuentes originales, las proyecciones de Lagrange, que son conformes y transforman meridianos y paralelos en arcos circulares. Introducimos en cartografía la función característica de una proyección conforme como el inverso del módulo de la derivada de la transformación conforme asociada. Obtenemos a priori la función característica de las proyecciones de Lagrange y realizamos una primera clasificación. Rectilíneas, formada por Cilíndricas conformes, Cónicas y acimutales conformes y Pseudopolares, esta última nueva en cartografía; y Circulares, formada por De LagrangeLambert, Unipolares y Apolares, dos últimas también nuevas. A partir de la función característica establecemos la propiedad fundamental de dependencia entre las coordenadas de los puntos transformados en las de Lagrange circulares y las curvaturas de las imágenes de meridianos y paralelos, y basados en ella determinamos sus ecuaciones. Introducimos por primera vez en cartografía las derivadas preschwarziana P y de Schwarz S, asociadas con una proyección conforme. Demostramos que P está relacionada con las curvaturas de las imágenes de meridianos y paralelos y S con las derivadas de las curvaturas, y que existe dependencia lineal entre P y la transformación conforme asociada con las proyecciones de Lagrange circulares. Probamos que las proyecciones de Lagrange se caracterizan por que S es constante real. Resolvemos esta ecuación y obtenemos las transformaciones conformes de las seis familias de proyecciones de Lagrange, las estudiamos exhaustivamente y creamos mapas de todas ellas. Demostramos que toda proyección conforme se puede aproximar en un punto mediante una Unipolar. Obtenemos una formulación actual de las proyecciones de LagrangeLambert pLL. Definimos los puntos geodésicos de una proyección conforme como aquellos donde se anula la curvatura de las imágenes de todas las geodésicas que pasan por ellos, y observamos que son puntos óptimos de la proyección. Expresamos la hessiana de g = logaritmo de la escala infinitesimal, en estos puntos, en función de las partes real e imaginaria de S. Para las pLL caracterizamos sus puntos geodésicos, hallamos la hessiana de g, revisamos el problema de optimización local de Lagrange y demostramos que pueden tener 1, 2 o 3 puntos geodésicos de tipo elíptico, parabólico o hiperbólico. Tratamos la optimización global, obtener la mejor pLL en el sentido de amplitud de g, o distorsión, mínima. Replanteamos y resolvemos el problema de Chebyshev, determinar la pLL de distorsión mínima para un país con la condición de que su frontera esté contenida en la clausura de la región limitada por una de las curvas de nivel de g. Cuando la pLL tiene un punto geodésico elíptico, estas curvas, en aproximación cuadrática, son elipses orientadas según el meridiano y paralelo del punto. Para resolver el problema nos basamos en que el cuadrado del radio bisector de estas elipses es directamente proporcional a la distorsión, y presentamos un programa en MATLAB que ejecutamos para España, Suiza y Portugal. Para España obtenemos una pLL de distorsión 0.001952. Definimos la distorsión relativa de una proyección conforme como la amplitud de g menos g0, donde g0 corresponde a la proyección de distorsión mínima. Probamos que la distorsión relativa es igual a la amplitud de g en la frontera del país; esto simplifica su cálculo y minimización. Determinamos la pLL que minimiza la distorsión relativa para España, distorsión 0.001874, para Suiza 0.0001234 y Portugal 0.0002491. Obtenemos la pLL óptima para estos países. España 0.001856, un 44 por ciento menor que la UTM huso 30. Suiza 0.0001234, un 82 por ciento menor que la UTM huso 32. Portugal 0.0002453, un 13 por ciento menor que la UTM mer. central menos 8 grados. Los resultados mejoran los de proyecciones conocidas y las distorsiones son prácticamente iguales a las obtenidas al minimizar la distorsión relativa, problema este más sencillo de resolver.