Bayesian estimation in generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models

Resumen

El propósito de esta tesis doctoral es entender, analizar y, sobre todo, modelizar el comportamiento estadístico de las series financieras. En este sentido, se puede afirmar que los modelos que mejor recogen las características particulares de este tipo de series son los modelos de heterocedasticidad condicionada en tiempo discreto, si los intervalos de tiempo en los que se recogen los datos lo permiten, y en tiempo continuo si se tienen datos diarios o datos intradía. Con esta finalidad, en esta tesis doctoral, se proponen distintos estimadores bayesianos para la estimación de los parámetros de los modelos GARCH en tiempo discreto y COGARCH en tiempo continuo. En el capítulo 1 se introducen los conceptos y modelos que servirán de base para este trabajo. Comienza revisando las principales características de las series financieras, para a continuación presentar formalmente los modelos ARCH, GARCH y COGARCH y sus principales características. El capítulo termina con el análisis del comportamiento de los procesos COGARCH ante variaciones en sus parámetros, para clarificar qué papel juega cada parámetro sobre el comportamiento de la serie. En el capítulo 2 se revisan diferentes metodologías para la estimación de los parámetros de los modelos COGARCH. Se introduce aquí el estimador propuesto por Maller en 2008 basado en una aproximación discreta en tiempos no equidistantes del modelo COGARCH(1,1). Esta aproximación se toma como base de los estimadores que se presentan en esta tesis. El primero de ellos se incluye en este capítulo y está basado en la metodología bayesiana MCMC considerando que partimos de una única serie de datos y posteriormente tomando varias trayectorias. Tras analizar empíricamente los resultados en ambas situaciones con datos simulados, se puede concluir que no son necesarias varias trayectorias del proceso para estimar adecuadamente los parámetros del modelo mediante esta metodología. En el capítulo 3, se presentan estimadores para los parámetros de los modelos GARCH y COGARCH basados en la metodología data cloning. Esta metodología utiliza un algoritmo MCMC para aproximar los estimadores de máxima verosimilitud. La precisión de los estimadores obtenidos se analiza mediante datos simulados, y se aplica esta metodología sobre datos reales. En el capítulo 4 se introduce la metodología Hamiltonian Monte Carlo, que es método bayesiano semejante a los métodos MCMC estándar pero que mejoran el rendimiento y eficiencia de estos, reduciendo respectivamente los tiempos de computación. Esta ventaja resulta de especial interés cuando se trabaja con modelos complejos como los COGARCH, en los se requieren tiempos de computación elevados. En este capítulo se muestran los respectivos estimadores de los parámetros de los modelos GARCH y COGARCH y se aplican en los casos de las mismas series de datos simulados y de datos reales. De este manera, se muestra que los resultados obtenidos son similares a los previos mediante métodos MCMC y data cloning, con la ventaja añadida de reducir los tiempos de computación. Finalmente, en el capítulo 5 se presenta la metodología Approximate Bayesian Computation que ofrece una posible solución para la estimación de modelos complejos donde la función de verosimilitud es intratable y debe aproximarse en general. En esta tesis se tratan dos modelos para la estimación de los parámetros de un modelo GARCH(1,1): un modelo ABC estándar y un modelo MCMC-ABC, y se muestra que se obtienen resultados semejantes. Esta metodología resulta de especial interés en el caso del modelo COGARCH, dada la intratabilidad de su verosimilitud. Para ello se calculan estimadores de los parámetros basados en un algoritmo ABC estándar, se chequean sobre datos simulados y se aplican sobre datos reales, mostrando bastante eficiencia en su comportamiento. Todos los algoritmos planteados en esta tesis han sido codificados en R, y se incluyen en un apéndice.