Escalas de espacios y técnicas de semigrupos para el estudio de ecuaciones de evolución

Resumen

La tesis Escalas de espacios y técnicas de semigrupos para el estudio de ecuaciones de evolución se dedica a estudiar problemas concretos de ecuaciones diferenciales a través de técnicas abstractas de análisis como son las escalas de espacios y los semigrupos. Más concretamente se estudian ecuaciones de evolución que se plantean en escalas de espacios. El ejemplo arquetípico de problema de evolución es la ecuación del calor. Si consideramos este problema en la escala de Lebesgue es conocido que el problema está bien propuesto tomando el dato inicial en no sólo uno, sino muchos espacios de dicha escala. Esto sirve como motivación para considerar problemas de evolución en escalas de espacios de Banach. El objetivo de esta tesis es, dado un problema de evolución, determinar en qué espacios de una escala se puede tomar el dato inicial para que el problema esté bien propuesto, así como estudiar propiedades adicionales de la solución. Consideraremos una amplia gama de problemas que resolvemos en distintas escalas de espacios. Estudiamos problemas lineales y no lineales con el siguiente enfoque. Ambos casos constan en primer lugar de una parte abstracta; se considera un problema con un término principal y un término de menor orden que puede ser lineal o no lineal. Nos fijamos primero en el operador principal de la ecuación. Asociadas a dicho operador se pueden construir escalas de espacios, en concreto la escala de potencias fraccionarias y de interpolación y se resuelve el problema mediante la fórmula de variación de las constantes. En segundo lugar aplicamos esta teoría de existencia a problemas concretos de ecuaciones diferenciales, usando para ello un argumento de bootstrap, encontrando escalas concretas para operadores concretos y analizando en dichas escalas el comportamiento de la perturbación. En el caso lineal, utilizamos resultados previos de A. Rodríguez Bernal y H. Amann junto con algunas extensiones para mejorar resultados existentes. En concreto, empezamos estudiando problemas de segundo orden en espacios uniformes, espacios muy grandes de baja regularidad, lo que los convierte en espacios muy atractivos en los que plantear problemas. Problemas similares se habían considerado previamente pero en la tesis mejoramos dichos resultados, permitiendo condiciones menos restrictivas sobre los coeficientes y ampliando el rango de espacios en los que el problema está bien propuesto. Después aplicamos los resultados abstractos a problemas de cuarto orden tanto en Rn como en dominios acotados, para espacios de Lebesgue, Bessel y uniformes, recuperando algún resultado. Cabe destacar que la generalidad del método permite resolver con un único esfuerzo y sin embargo de forma específica una gama amplísima de problemas. Estos resultados de generalizan a ecuaciones de orden superior y problemas en dominios acotados. En cuanto a la parte no lineal, estudiamos en primer lugar la teoría abstracta de existencia. Dada una función no lineal con un crecimiento, encontramos el rango de espacios para los que el problema está bien propuesto, distinguiendo entre el caso crítico y subcrítico. Estudiamos además propiedades adicionales como la regularización, dependencia continua respecto al dato inicial, prolongabilidad, tasa de explosión, resultados finos de unicidad y probamos que estos resultados son esencialmente óptimos. Después aplicamos estos resultados a problemas de EDP utilizando de nuevo un argumento de bootstrap que en este caso es más complejo para conservar toda la información. En concreto resolvemos problemas de orden 2m con términos no lineales que involucran derivadas y coeficientes con dependencia espacial en espacios de Lebesgue, Bessel y uniformes. La cantidad de problemas incluidos en dicha caracterización es muy grande, y problemas famosos como la ecuación de Cahn Hilliard aparecen como un caso particular de dicha formulación. Finalmente aplicamos la teoría abstracta también a un problema de ondas con amortiguación fuerte.