Mathematical modeling and optimization of bioreactors and liquid crystals

Resumen

En esta tesis se han aplicado diversas herramientas matemáticas con el objetivo de estudiar dos fenómenos diferentes en el ámbito de los fluidos. Los modelos matemáticos propuestos para ambos problemas están principalmente basados en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones en Derivadas Parciales. Para llevar a cabo el análisis matemático de los modelos propuestos, hemos estudiado la existencia y unicidad de solución, junto con resultados de no negatividad y acotación, utilizando entre otros el Teorema de Punto Fijo de Schauder y técnicas variacionales. Hemos realizado un análisis dimensional de los modelos resultantes, el cual nos ha dado una pista de las escalas temporales características de los procesos y ha facilitado la reducción del número de parámetros de los modelos. En aquellos casos en los que los modelos resultantes se veían afectados por la presencia de parámetros o bien muy grandes o bien muy pequeños, hemos obtenido soluciones aproximadas del modelo aplicando técnicas de análisis asintótico. Además, se ha estudiado el comportamiento asintótico de los modelos, desarrollando el análisis de estabilidad de los estados estacionarios vía métodos de linealización. Finalmente, hemos definido dos problemas de optimización y los hemos abordado utilizando un Algoritmo Genético Híbrido. Descontaminación de agua utilizando reactores biológicos Con el objetivo de afrontar de forma precisa el problema de descontaminación de agua, primero hemos tratado de entender el comportamiento de un biorreactor continuo, un tanque donde tienen lugar reacciones biológicas, que puede ser utilizado para tratar agua contaminada. En el Capítulo 1 se introducen algunos conceptos básicos en la teoría de biorreactores, y se repasan resultados previos relacionados con el uso de biorreactores en procesos de descontaminación de agua. En el Capítulo 2 se proponen dos modelos diferentes, los cuales describen respectivamente el comportamiento de biorreactores mezclados y no mezclados. Se ha realizado un análisis matemático de ambos modelos, el cual ha proporcionado información útil sobre la dinámica del biorreactor, por ejemplo, sobre la estabilidad de los diferentes estados estacionarios. Una vez entendido el funcionamiento del biorreactor, en el Capítulo 3 se han estudiado dos problemas de optimización en los que se utiliza un biorreactor para descontaminar agua residual. El primer problema pretende minimizar el tiempo necesario para limpiar un recurso hídrico conectado a un biorreactor continuo. El segundo problema tiene como objetivo minimizar el volumen del biorreactor optimizando la forma del tanque. Las conclusiones y perspectivas futuras principales de este estudio se presentan en el Capítulo 4. Comportamiento de cristales líquidos bajo la imposición de campos de flujo La finalidad de esta parte de la tesis es entender el comportamiento de cristales líquidos, estados de agregación de la materia que tienen propiedades de las fases líquida y sólida, confinados en un microcanal y sometidos al flujo de un fluido. En el Capítulo 5 se introduce de forma breve la teoría de cristales líquidos y se analizan trabajos previos en los que se estudia la influencia de los campos de flujo en la orientación molecular del cristal líquido. En el Capítulo 6 hemos propuesto un modelo, basado en la teoría de Leslie Ericksen, el cual permite capturar el conflicto entre el gradiente de presión, relacionado con el movimiento del fluído, y la fuerza de anclaje, relacionada con la orientación de las moléculas cerca de la superficie del microcanal. En el Capítulo 7 hemos llevado a cabo un análisis exhaustivo del comportamiento asintótico del modelo. En particular, hemos construido un diagrama de soluciones estacionarias, en función del gradiente de presión y la fuerza de anclaje, y hemos desarrollado una investigación preliminar de la solución del modelo dinámico. Las conclusiones y perspectivas principales de este trabajo han sido presentadas en el Capítulo 8.