Topología y dinámica de conjuntos non-saddle e índice de Conley en variedades

Resumen

La tesis titulada Topología y dinámica de conjuntos non-saddle e índice de Conley en variedades está dedicada al estudio, utilizando técnicas topológicas, de la estructura cualitativa de un flujo cerca de un compacto invariante. Este fue uno de los primeros temas clásicos desarrollados por H. Poincaré, I. Bendixson, A. Andronov y S. Lefschetz al inicio de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales, con contribuciones de autores como D.M. Grobman, P. Hartman, J.K. Hale y A. Stokes y muchos otros. Está estructurada en dos capítulos. El primero de ellos se centra en el estudio de continuos invariantes aislados en superficies. En particular, se da una descripción completa de los posibles índices de Conley utilizando solamente información sobre la topología del continuo y sobre la dinámica en su variedad inestable dotada con la topología inducida por el espacio de fases. Esto permite extraer consecuencias de interés como por ejemplo la clasificación topológica de continuos invariantes aislados sin puntos fijos o de conjuntos minimales aislados. En el segundo capítulo se desarrolla la teoría de los conjuntos non-saddle. Esta teoría, estudiada primeramente por N.P. Bhatia y T. Ura, se presenta como un marco general que engloba la teoría clásica de estabilidad y atracción y otras teorías recientes como la teoría de atractores inestables sin explosiones externas. En particular, los conjuntos non-saddle aislados comparten muchas de las buenas propiedades dinámicas y topológicas de los atractores y los atractores inestables sin explosiones externas. De hecho, localmente, un non-saddle aislado es indistiguible de un atractor sin explosiones externas. Sin embargo, globalmente la situación es completamente diferente ya que los flujos que poseen un non-saddle aislado pueden tener una estructura global mucho más complicada que los que poseen un atractor aislado sin explosiones externas.