Hyperspaces, shape theory and computational topology

Abstract

En esta tesis doctoral se analiza el problema de la reconstrucción de espacios topológicos métricos compactos mediante aproximaciones finitas. En concreto, se propone una construcción en la que se obtiene una sucesión inversa de espacios finitos basados aproximaciones discretas cada vez más densas en el espacio y aplicaciones continuas definidas de manera natural mediante la cercanía entre las distintas aproximaciones. Para dicha construcción, es necesario el uso de los hiperespacios de las aproximaciones, para que las aplicaciones continuas estén bien definidas y sean continuas. La elección de una topología no Hausdorff topología semifinita superior en dicho hiperespacio se muestra como adecuada para este propósito. Se demuestra en primer lugar que la sucesión inversa de espacios finitos induce varias sucesiones inversas de poliedros que recuperan la forma del espacio inicial, en el sentido de que son expansiones de dicho espacio. Se utilizan algunos ejemplos paradigmáticos en teoría de la forma, como el círculo polaco y el pendiente hawaiiano para llevar a cabo esta reconstrucción. Posteriormente, se analiza el límite inverso de la sucesión inversa de espacios finitos, obteniendo que dicho límite posee un subespacio que es homeomorfo al espacio original y al cual se retracta por deformación fuerte. Se obtiene como corolario directo que el tipo de homotopía del límite inverso es el mismo que el del espacio en cuestión y, por tanto, que todo métrico compacto tiene el tipo de homotopía de una sucesión inversa de espacios finitos. El uso de los hiperespacios de espacios con la topología discreta se generaliza como un espacio ambiente adecuado para probar ciertos teoremas de inmersión de espacios de Alexandroff y la universalidad de propiedades de la forma de espacios métricos compactos. Las aproximaciones realizadas por esta construcción son susceptibles de implementación en un sentido computacional, dada su explicitud. En particular se propone una alternativa a la homología persistente llamada persistencia inversa utilizando la construcción estudiada y se considera la obtención de módulos persistentes esencialmente distintos de los habituales y con la posible ventaja de tener menor coste computacional en el proceso.