New developments and applications of the inverse problem of the calculus of variations

Resumen

De manera concisa, el problema inverso del cálculo de variaciones se refiere a si un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden es equivalente a un sistema Lagrangiano regular. Este problema se remonta a finales del siglo XIX, momento en el que sólo se comprendía completamente el caso unidimensional. Cuarenta años más tarde, el medallista Fields J. Douglas dio una clasificación para sistemas bidimensionales. Después de esto no se ha clasificado completamente ninguna otra dimensión. El término mecánica geométrica se refiere a una variedad de temas que se encuentran en la intersección de la geometría diferencial, los sistemas dinámicos, tanto discretos como continuos, y la mecánica analítica. El problema inverso es el hilo principal de esta tesis, mientras se consideran algunos temas centrales de la mecánica geométrica, como los sistemas noholónomos y el problema de Hamiltonización, la mecánica Lagrangiana en algebroides de Lie, la estabilización de sistemas mecánicos mediante controles apropiados y la mecánica discreta, en particular integradores geométricos. Las principales contribuciones de esta tesis son las siguientes. Damos una nueva caracterización del problema inverso en términos de subvariedades Lagrangianas, con lo cual podemos extender el problema a una variedad de contextos, concretamente a mecánica con ligaduras, incluyendo mecánica noholónoma, mecánica Lagrangiana en algebroides de Lie y mecánica discreta. Cada una de estas extensiones se puede relacionar con otros problemas, por ejemplo el problema de Hamiltonización de sistemas noholónomos, la reducción por simetrías e integración geométrica. También damos aplicaciones del problema inverso a teoría de control, más concretamente al problema de estabilización de un equilibrio inestable. Finalmente introducimos integradores energía-preservantes para sistemas noholónomos.