Duality on abelian topological groupsthe Mackey problem

Resumen

En el artículo On Mackey topology for groups de 1999 se formula el Problema Mackey para grupos topológicos abelianos. Dicho problema cuestiona si existe una topología máxima localmente cuasiconvexa compatible con un grupo topológico fijado de antemano. De existir dicha topología se llamará topología de Mackey. En esta tesis presentamos varios resultados en esta línea y resolvemos preguntas interesantes como Las topologías pádicas en el grupo de los números enteros no son topologías de Mackey La topología del grupo de los números racionales heredada de de los números reales tampoco es una topología de Mackey Para ello, estudiamos por un lado invariantes de las topologías lineales no discretas en el grupo de los enteros. Estos invariantes nos llevan a definir las Dsucesiones, que juegan un papel fundamental en el desarrollo de la investigación llevada a cabo. De hecho, nos sirven para 1. Caracterizar las topologías lineales en los enteros. 2. Describir los subgrupos de torsión del círculo unidad del plano complejo. 3. Construir las compleciones del grupo de los enteros con las diferentes topologías lineales descritas anteriormente. A las que llamamos enteros bádicos. A continuación definimos en los enteros varias topologías a partir de una Dsucesión, b. Por un lado encontramos una topología lineal en el grupo de los enteros L. Por otro lado definimos una topología de convergencia uniforme sobre los inversos de la Dsucesión, vistos como homomorfismos en el círculo unidad, T. Por último definimos la topología D como el supremo de todas las topologías de convergencia uniforme sobre subsucesiones de b que cumplen unos requisitos numéricos. En el Capítulo 4 probamos que las tres topologías son compatibles, L siempre es diferente de T y estudiamos cuando se tiene que T y D coinciden. Gracias a este estudio, probamos que las topologías lineales no discretas en el grupo de los enteros no es una topología de Mackey. En el capítulo 5 definimos para cada subgrupo infinito de torsión del círculo unidad una topología de convergencia uniforme sobre los elementos de una Dsucesion, b, vistos como homomorfismos de los enteros bádicos al círculo unidad del plano complejo, E. A continuación probamos que las topologías E son más finas que la topología heredada del círculo unidad, U, pero compatibles con ella. Por lo tanto, la topología U no es una topología de Mackey. Dado que ser topología de Mackey se hereda a los cocientes localmente cuasiconvexos, obtenemos que la topología del grupo de los números racionales heredada de la métrica euclídea de los números reales tampoco es una topología de Mackey. Por último, en el Capítulo 6, demostramos que toda topología metrizable en un grupo acotado es una topología de Mackey. También probamos el recíproco; es decir, para cada grupo no acotado, existe una topología metrizable y localmente cuasiconvexa que no es de Mackey.