Soluciones periódicas positivas para sistemas de reacción-difusión periódicos

Resumen

Esta memoria está distribuida en tres capítulos. En los dos primeros se analiza un modelo parabólico de Ingeniería Nuclear y en el último se establece un teorema de positividad para un modelo lineal periódico-parabólico de tipo cooperativo. El modelo de Ingeniería Nuclear es una versión espacialmente heterogénea del propuesto por Chambré y Kastemberg para describir el comportamiento de un Reactor Nuclear. El objetivo de la Tesis es analizar la dinámica de este problema parabólico. En el Capítulo 2 se prueba que para cada par de valores iniciales, u0, v0, funciones positivas y acotadas, el modelo parabólico tiene una única solución bien definida para todo tiempo, t, positivo. Una de las finalidades de esta memoria es demostrar que la dinámica del problema parabólico está determinada en muchas ocasiones por sus estados estacionarios, que son las soluciones no negativas del problema elíptico asociado. Tales soluciones pueden ser de dos tipos: la solución trivial, 0,0, y los denominados estados de coexistencia, que son las soluciones u,v con u y v positivas. El objetivo del Capítulo 1 es obtener resultados de existencia y unicidad de estados de coexistencia. En él se establece la existencia de una componente no acotada de estados de coexistencia que emana desde la solución trivial en el único punto de bifurcación posible a soluciones positivas, determinado por el autovalor principal del operador de Laplace bajo condiciones nulas en la frontera. Además, se demuestra que esta componente pierde las cotas a priori en un único punto, único valor de bifurcación desde el infinito. La principal técnica utilizada para la obtención de este resultado global de existencia es una combinación de teoría de bifurcación local con teoría de bifurcación unilateral global. Como el sistema es, en general, no cooperativo, de tipo presa y depredador, el estudio de la unicidad de sus estados de coexistencia resulta muy ardua desde el punto de vista matemático, salvo en algunas circunstancias especiales, en las que se puede efectuar un cambio de variable que permite reducir el estudio del sistema elíptico inicial a otro de tipo cooperativo, donde las técnicas de comparación basadas en el principio del máximo se pueden aplicar proporcionando la unicidad y atractividad global del estado de coexistencia, que constituye el principal resultado del Capítulo 2. Entre los principales resultados de unicidad multidimensionales, se demuestra la unicidad del estado de coexistencia cerca de los puntos de bifurcación desde 0,0 y desde infinito, así como para un determinado rango de valores intermedios de los parámetros. Finalmente se extienden todos los resultados de unicidad unidimensional existentes. El Capítulo 2 analiza esencialmente el comportamiento dinámico del problema parabólico. En particular, se demuestra que por debajo del valor crítico de bifurcación a estados de coexistencia, la solución 0,0 es un atractor global, cuya estabilidad se pierde cuando el parámetro de bifurcación supera dicho umbral crítico. El principio de intercambio de estabilidad de Crandall y Rabinowitz establece entonces la estabilidad lineal asintótica del único estado de coexistencia. Pero, por no ser cooperativo el sistema, no se puede asegurar su atractividad global. En efecto, no podemos excluir la posibilidad de que el modelo de evolución admita alguna solución, por ejemplo periódica, para tal rango de valores del parámetro de bifurcación. Finalmente en el último capítulo se obtienen diversas caracterizaciones del principio del máximo para sistemas lineales cooperativos de tipo periódico-parabólico.