Motivos de espacios de Móduli de pares y aplicaciones

Resumen

Esta tesis trata de los siguientes tres temas: la clase en el anillo de Grothendieck de variedades del espacio de móduli de fibrados y de pares; la conjetura de Hodge para tales espacios de móduli; y los fibrados equivariantes sobre variedades tóricas y G-pares. A continuación detallaremos cada una de los puntos mencionados detallando las técnicas utilizadas.Los espacios de moduli son espacios que esencialmente parametrizan objetos. Estos objetos son de muy diversa índole, como por ejemplo, el móduli de curvas, el de fibrados sobre una curva, etc. Por ejemplo, Narashiman y Seshadri constuyeron, via GIT, el móduli de fibrados sobre una curva de un rango y un grado fijados. Hay que observar que para la construcción de dichos espacios de moduli se usan técnicas analíticas o algebraicas.Aunque no entremos a detallar esta conexión entre dos campos de la ciencia, la necesidad de estudiar estos espacios de móduli vienen motivados por problemas de la física. Por ejemplo, los espacios de móduli pueden en muchos casos parametrizar soluciones de ecuaciones diferenciales.En esta tesis se estudia principalmente los fibrados de pares holomorfos. Estos objetos son pares formados por un fibrado holomorfo (cuyo rango y grado están fijados) y un sección. Más concretamente obtenemos el motivo de este espacio para rangos menores o iguales a cuatro. Las técnicas que aquí utilizamos son de índole geométrica. Nos situamos en un ámbito más amplio, el de los triples, que consisten en una tripleta formada por dos fibrados holomofos de rangos y grados fijados, y un morfismo entre ellos. Es conocida y obvia la relación entre ambos. A continuación detallamos el proceso por el cual obtenemos nuestros primeros resultados. La noción de estabilidad de un triple depende de un parámetro. A medida que el parámetro cambia, el espacio de móduli de triples se modifica, pero es sólo en un conjunto discreto de puntos donde el conjunto subyacente a él cambia. A este conjunto de triples que aparecen y desaparecen los llamamos flip loci. Los triples pertenecientes al flip loci admiten una filtración. A partir de ella, podemos dar una estratificación de estos conjuntos. Con cierto trabajo, es posible dar un motivo en términos del motivo del Jacobiano de la curva, del motivo de Lefschetz y espacios simétricos de los dos anteriores. Aunando las clases de los flip loci calculados, calculamos el motivo del espacio de móduli de pares y también del espacio de fibrados.A partir de este cómputo, podemos verificar la conjetura de Hodge para los espacios de móduli de pares. Basándonos en un resultado de Arapura y Kang, donde obtienen un funtor en el grupo de Grothendieck de variedades en el cual una variedad satisface la conjetura de Hodge si y sólo si su imagen por el funtor es cero. Demostramos que tanto el Jacobiano de la curva, así como el simétrico de dichos espacios, su imagen por dicho funtor es cero, y por lo tanto, usando la descripción del motivo de los espacios de móduli de pares en términos de éstos, podemos afirmar que satisfacen la conjetura de Hodge.El último capítulo de la tesis se centra en resultados de otra índole. Definimos los G-pares log-paralelizables como aquellos cuya acción del grupo que actúa determina un isomorfismo en un subfibrado del tangente. A partir de esta acción se establecen una serie de caracterizaciones para que un fibrado sobre este espacio sea equivariante, en función de la existencia de una conexión plana integrable sobre él. Este resultado se afina para el caso de variedades tóricas, que es un caso particular de G-pares log-paralelizables. Finalmente, a partir de esta caracterización obtenemos las clases de Chern de un fibrado equivariante sobre una variedad tórica, obteniendo un resultado equivalente al de Klyachko. Es de destacar que aquí usamos técnicas no clásicas (conos, abanicos, etc.) en variedades tóricas para obtener nuestros resultados.