Álgebras de funciones diferenciables en variedades

Résumé

La presente Memoria está dedicada fundamentalmente a estudiar dos cuestiones, relacionadas entre sí, en el marco de los espacios de funciones diferenciables en variedades. Por una parte, nos interesamos en un problema de aproximación diferenciable, más concretamente la cuestión de aproximar uniformemente una función Lipschitziana por funciones diferenciables y Lipschitzianas, manteniendo el control sobre las constantes de Lipschitz. Por otro lado, estudiamos un problema de tipo Banach-Stone, más concretamente nos preguntamos si la estructura métrica de una variedad queda determinada por la estructura natural de álgebra de Banach en el espacio de las funciones diferenciables, acotadas y con derivada acotada, definidas sobre la variedad. Estas dos cuestiones son estudiadas, a su vez, en dos marcos distintos: en primer lugar, en variedades Riemannianas de dimensión infinita, y en segundo lugar en variedades Finsler de dimensión finita. En el marco clásico de las variedades Riemannianas d e dimensión finita, el problema de la regularización y aproximación diferenciable de funciones Lipschitzianas fue estudiado por Greene y Wu, utilizando como herramienta principal la convolución integral con un núcleo adecuado. Este método no puede ser utilizado en variedades de dimensión infinita, ni siquiera en espacios de Hilbert de dimensión infinita, puesto que en este caso no se dispone de una medida adecuada que permita introducir la convolución. Por este motivo, es necesario recurrir a un a estrategia diferente, y en concreto nosotros utilizamos la combinación de tres técnicas distintas para obtener el correspondiente resultado de aproximación infinito dimensional. Por una parte, utilizamos las llamadas convolución infimal y suprimal , una técnica desarrollada por Lasry y Lions que permite aproximar uniformemente funciones Lipschitzianas en espacios de Hilbert por funciones de clase C^1 y Lipschitzianas. Este método, sin embargo, no permite obtener mayor regularidad, y en particular no sirve para obtener aproximación por funciones de clase C^2. Para ello, utilizamos un resultado de Moulis en espacios de Hilbert separables, sobre aproximación de funciones C^1 por funciones C^\infty en la topología fina de primer orden, es decir, aproximación de la función y la derivada. Finalmente, es necesario utilizar una adecuada partición diferenciable de la unidad para combinar estas aproximaciones locales y obtener el resultado global. En cuanto a la segunda cuestión, por un...