Paralelismo y geodésicas en variedades conformes

Resumen

Una variedad riemanniana tienen asociada una única conexión lineal simétrica-denominada de Levi-Civita- que respeta la estructura. Esta conexión es la herramienta fundamental para el estudio de esta Geometría, y permite en particular definir un paralelismo canónico de vectores a lo largo de curvas. La situación no es la misma para el caso de una variedad conforme, pues de hecho existe toda una familia de conexiones simétricas compatibles con la estructura. La aportación original de esta tesis tiene su clave en el descubrimiento de un paralelismo canónico definido sobre las curvas de una variedad conforme, construido mediante cierto criterio de adaptación entre la curva y la familia completa de conexiones compatibles con la estructura conforme. Se ha denominado a este paralelismo "de Fermi-Walker", pues un paralelismo análogo (con este nombre) ya fue utilizado como herramienta de estudio en Relatividad General, en el contexto geométrico de los espacios con estructura métrica de Lorentz. La idea que subyace en este trabajo es la de mostrar cómo el paralelismo Fermi-Walker puede desempeñar para el estudio de la Geometría conforme un papel tan relevante como el que desempeña la conexión de Levi-Civita para el estudio de la Geometría Riemanniana. En la tesis se describe cómo el paralelismo Fermi-Walker produce una "elevación horizontal" sobre el fibrado de referencias lineales, de los vectores tangentes de segundo orden de la variedad conforme. También se estudia en que forma esta "conexión" ligada al segundo orden, permite reinterpretar los invariantes conformes clásicos de las curvas, con la ayuda de un nuevo invariante ligado al clásico tensor de Schouten y a la propia conexión Fermi-Walker. Finalmente, se presenta una nueva noción de holonomía para variedades conformes, y se conjetura que está determinada por el tensor de curvatura de Weyl. A modo de aproximación se prueba que esta holonomía es